Membahas Soal-Soal Limit dan Turunan Fungsi di Bocoran UN Matematika SMA
Oleh
Bear Pinter
Posting Komentar
Halo sobat blogger semuanya, Kali ini blog matematika akan membahas tentang Soal-Soal Limit dan Turunan Fungsi di Bocoran UN Matematika SMA yang sempat di keluarkan olek blog pak anang. Kita tahu bahwa soal-soal Limit dan Turunan Fungsi terkadang bisa menjadi penyelamat kita mendapatkan jawaban yang benar mengingat terlalu mudah di kerjakan. Jadi kalau ada soal-soal limit dan Turunan Fungsi terus teman-teman tidak bisa mengerjakan tentulah sangat rugi. Oleh karena itu, kali ini saya mencoba membagikan sedikit trik menyelesaikan soal-soal limit dan turunan fungsi dari bocoran soal UN Matematika yang saya dapat dari blog pak anang.
Jangan Lupa Baca :
Jangan Lupa Baca :
Perlu teman-teman ketahui, bahwa blog pak Anang ini selalu memberikan bocoran Ujian nasional sebelum UN yang sebenarnya berlangsung. Walaupun sebenarnya bocoran ini hanya sebagai try out untuk adik-adik kita yang akan mengikuti ujian Nasional (UN).
Sebenarnya tebakan dari pak anang ini selalu jitu. Bahkan di tahun 2017 yang lalu, soal bocoran UN Matematika hampir sama persis dengan UN Matematika sebenarnya. Bahkan ada soal yang sama persis angkanya. Tetapi bagi saya, Soal UN sudah menjadi budaya bahwa soal UN tidak akan jauh dari soal sebelumnya mengingat SKL dan Kisi-kisi yang di keluarkan dari pihak BSNP selalu mirip dan hampir tidak ada perubahan.
Bahkan kalau kita cermati lagi, ada beberapa soal di tahun-tahun sebelumnya di keluarkan lagi. Contohnya tentang soal-soal Limit dan Turunan fungsi. Yang membuat saya lumayan heran, kok tidak ada limit fungsi trigonometri ataupun turunan fungsi trigonometri. Yah, Kita lihat saja.😏
Tidak perlu berlama-lama yuk kita bahas saja soalnya. Kali ini saya dahulukan Pembahasan Bocoran soal-soal Limit dan Turunan Fungsi SMA Tahun 2019
Bahkan kalau kita cermati lagi, ada beberapa soal di tahun-tahun sebelumnya di keluarkan lagi. Contohnya tentang soal-soal Limit dan Turunan fungsi. Yang membuat saya lumayan heran, kok tidak ada limit fungsi trigonometri ataupun turunan fungsi trigonometri. Yah, Kita lihat saja.😏
Membahas Soal-Soal Limit dan Turunan Fungsi di Bocoran UN Matematika SMA IPA Tahun 2019
Tidak perlu berlama-lama yuk kita bahas saja soalnya. Kali ini saya dahulukan Pembahasan Bocoran soal-soal Limit dan Turunan Fungsi SMA Tahun 2019
1. Nilai ${\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{2x^{2}-5x}{3-\sqrt{9+x}}}$ adalah .....
a. 24
b. 28
c. 30
d. 32
e. 36
Jawaban : C
\begin{eqnarray*} {\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{2x^{2}-5x}{3-\sqrt{9+x}}}\times\left(\frac{3+\sqrt{9+x}}{3+\sqrt{9+x}}\right) & = & \lim_{x\to0}\frac{\left(2x^{2}-5x\right)\left(3+\sqrt{9+x}\right)}{9-\left(9+x\right)}\\ & = & \lim_{x\to0}\frac{x\left(2x-5\right)\left(3+\sqrt{9+x}\right)}{9-9-x}\\ & = & \lim_{x\to0}\frac{x\left(2x-5\right)\left(3+\sqrt{9+x}\right)}{-x}\\ & = & \lim_{x\to0}-\left(2x-5\right)\left(3+\sqrt{9+x}\right)\\ & = & -\left(2\left(0\right)-5\right)\left(3+\sqrt{9+0}\right)\\ & = & -\left(-5\right)\left(3+3\right)\\ & = & 5\times6\\ \lim_{x\to0}\frac{2x^{2}-5x}{3-\sqrt{9+x}} & = & 30
\end{eqnarray*}
2. Nilai dari ${\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}-3x-2\right)=......}$
a. $-3$
b. $-2$
c. $-1$
d. $1$
e. $2$
Jawaban : A
Kita coba dulu menggunakan cara biasa yah. Jangan Pusing duluan.
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}-3x-2\right) & = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}-\sqrt{\left(3x+2\right)^{2}}\right)\\ & = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}-\sqrt{9x^{2}+12x+4}\right)\\ & = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}-\sqrt{9x^{2}+12x+4}\right)\\ & & \times\frac{\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}+\sqrt{9x^{2}+12x+4}\right)}{\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}+\sqrt{9x^{2}+12x+4}\right)}\\ & = & \lim_{x\to\infty}\frac{\left(9x^{2}-6x+7\right)-\left(9x^{2}+12x+4\right)}{\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}+\sqrt{9x^{2}+12x+4}\right)}\\ & = & \lim_{x\to\infty}\frac{\left(9x^{2}-6x+7-9x^{2}-12x-4\right)}{\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}+\sqrt{9x^{2}+12x+4}\right)}\\ & = & \lim_{x\to\infty}\frac{\left(-18x+3\right)}{\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}+\sqrt{9x^{2}+12x+4}\right)}\\ & = & \lim_{x\to\infty}\frac{\left(-18x+3\right)}{\left(\sqrt{x^{2}\left(9-\frac{6}{x}+\frac{7}{x^{2}}\right)}+\sqrt{x^{2}\left(9+\frac{12}{x}+\frac{4}{x^{2}}\right)}\right)}\\ & = & \lim_{x\to\infty}\frac{\left(-18x+3\right)}{\left(x\sqrt{\left(9-\frac{6}{x}+\frac{7}{x^{2}}\right)}+x\sqrt{\left(9+\frac{12}{x}+\frac{4}{x^{2}}\right)}\right)}\\ & = & \lim_{x\to\infty}\frac{x\left(-18+\frac{3}{x}\right)}{x\left(\sqrt{\left(9-\frac{6}{x}+\frac{7}{x^{2}}\right)}+\sqrt{\left(9+\frac{12}{x}+\frac{4}{x^{2}}\right)}\right)}\\ & = & \lim_{x\to\infty}\frac{\left(-18+\frac{3}{x}\right)}{\left(\sqrt{\left(9-\frac{6}{x}+\frac{7}{x^{2}}\right)}+\sqrt{\left(9+\frac{12}{x}+\frac{4}{x^{2}}\right)}\right)}\\ & = & \frac{\left(-18+0\right)}{\left(\sqrt{\left(9-0+0\right)}+\sqrt{\left(9+0+0\right)}\right)}\\ & = & \frac{-18}{\sqrt{9}+\sqrt{9}}\\ & = & \frac{-18}{3+3}\\ & = & \frac{-18}{6}\\ & = & -3
\end{eqnarray*}
Alternatif lain
Jika ${\displaystyle \lim_{x\to\infty}}\sqrt{ax^{2}+bx+c}-\sqrt{px^{2}+qx+r}$
dengan nilai $a=p$ maka kita cukup menggunakan rumus singkat $\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
Kita coba saja
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}-3x-2\right) & = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}-\sqrt{\left(3x+2\right)^{2}}\right)\\ & = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}-\sqrt{9x^{2}+12x+4}\right)
\end{eqnarray*}
dari langkah kedua diatas, kita sudah bisa langsung menerapkan rumus
$\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$ karena nilai $a=p=9$
\begin{eqnarray*} \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} & = & \frac{-6-12}{2\sqrt{9}}\\ & = & \frac{-18}{2\left(3\right)}\\ & = & \frac{-18}{6}\\ & = & -3
\end{eqnarray*}
Mudah kan.
3. Turunan pertama dari $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3x+5}{-2+x},}$ $x\neq2$ adalah$f'\left(x\right)$. Nilai $f'\left(1\right)=$.......
a. $-11$
b. $-6$
c. $-5$
d. $-3$
e. $17$
Jawaban : A
dengan menggunakan rumus turunan pembagian $f\left(x\right)=\dfrac{u}{v}$ maka $f'\left(x\right)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ kita coba untuk $u=3x+5$ maka $u'=3$ dan $v=-2+x$ maka $v'=1$
\begin{eqnarray*} f'\left(x\right) & = & \frac{3\left(-2+x\right)-\left(3x+5\right)\left(1\right)}{\left(-2+x\right)^{2}}\\ & = & \frac{-6+3x-3x-5}{\left(-2+x\right)^{2}}\\ f'\left(x\right) & = & \frac{-11}{\left(-2+x\right)^{2}}
\end{eqnarray*}
Nilai dari $f'\left(1\right)$ adalah
\begin{eqnarray*} f'\left(1\right) & = & \dfrac{-11}{\left(-2+1\right)^{2}}\\ & = & \frac{-11}{\left(-1\right)^{2}}\\ & = & \frac{-11}{1}\\ f'\left(1\right) & = & -11
\end{eqnarray*}
4. Fungsi $f\left(x\right)=x^{3}+3x^{2}-9x+10$ naik pada interval .......
a. $\left\{ x|x<1\,\,\text{atau}\,\, x>3,\, x\in\mathbb{R}\right\} $
b. $\left\{ x|x<-3\,\,\text{atau}\,\, x>1,\, x\in\mathbb{R}\right\} $
c. $\left\{ x|x<-1\,\,\text{atau}\,\, x>3,\, x\in\mathbb{R}\right\} $
d. $\left\{ x|-3<x<1,\, x\in\mathbb{R}\right\} $
e. $\left\{ x|1<x<3,\, x\in\mathbb{R}\right\} $
Jawaban : B
Syarat fungsi naik adalah $f'\left(x\right)>0$. Karena $f\left(x\right)=x^{3}+3x^{2}-9x+10$ maka $f'\left(x\right)=3x^{2}+6x-9$ karena $f'\left(x\right)>0$ maka $3x^{2}+6x-9>0$ atau $x^{2}+2x-3>0$.
\begin{eqnarray*} x^{2}+2x-3 & > & 0\\ \left(x-1\right)\left(x+3\right) & > & 0\\ x=1 & \text{atau } & x=-3
\end{eqnarray*}
Kita sudah dapatkan titik kritis $-3$ dan $1$. Kita masukkan kedalam garis bilangan seperti di bawah ini
Dari grafik diatas kita uji bilangan diantara titik kritis tersebut dan mendapatkan nilai positif atau disebut fungsi naik pada interval\[x<-3\,\,\text{atau}\,\, x>1\]
5. Yuniati membeli minyak goreng dalam kemasan plastik pada suatu minimarket. Ia ingin memasukkan minyak goreng tersebut pada sebuah tabung tanpa tutup yang permukaannya terbuat dari lempengan seng tipis. Ternyata tabung tanpa tutup dengan luas permukaan $2\pi$ cm$^{2}$ adalah tabung tanpa tutup dengan luas terkecil yang dapat memuat minyak goreng sebanyak $8\pi$ cm$^{3}$. Maka nilai $k$ adalah......
Jawaban : 12
Dari keterangan soal kita peroleh bahwa $V=8\pi$. Karena volume tabung adalah $V=\pi r^{2}t$ maka kita dapatkan
\begin{eqnarray*} V & = & 8\pi\\ \pi r^{2}t & = & 8\pi\\ r^{2}t & = & 8\\ t & = & \frac{8}{r^{2}}
\end{eqnarray*}
padhal kita memiliki luas permukaan tabung tanpa tutup adalah
\begin{eqnarray*} L_{p} & = & \pi r^{2}+2\pi rt\\ & = & \pi r^{2}+2\pi r\left(\frac{8}{r^{2}}\right)\\ L_{P} & = & \pi r^{2}+\frac{16\pi}{r}
\end{eqnarray*}
Karena tabung tanpa tutup dengan luas terkecil maka $L_{p}'=0$
\begin{eqnarray*} L_{P} & = & \pi r^{2}+\frac{16\pi}{r}\\ L_{p}' & = & 2\pi r-\frac{16\pi}{r^{2}}
\end{eqnarray*}
sehingga
\begin{eqnarray*} 2\pi r-\frac{16\pi}{r^{2}} & = & 0\\ 2\pi r & = & \frac{16\pi}{r^{2}}\\ r^{3} & = & 8\\ r & = & \sqrt[3]{8}\\ r & = & 2
\end{eqnarray*}
karena $t=\dfrac{8}{r^{2}}$ maka $t=\dfrac{8}{2^{2}}=2$.
dalam soal disebutkan juga bahwa luas permukaan adalah $k\pi$ maka
\begin{eqnarray*} L_{P} & = & \pi r^{2}+\frac{16\pi}{r}\\ k\pi & = & \pi r^{2}+\frac{16\pi}{r}\\ k\pi & = & \pi\left(2^{2}\right)+\frac{16\pi}{2}
\end{eqnarray*}
kita bagi semua dengan $\pi$ maka menjadi
\begin{eqnarray*} k\pi & = & \pi\left(2^{2}\right)+\frac{16\pi}{2}\\ k\pi & = & 4\pi+8\pi\\ k & = & 4+8\\ k & = & 12
\end{eqnarray*}
Kali ini saya lanjutkan dengan Pembahasan Bocoran soal-soal Limit dan Turunan Fungsi SMA IPS Tahun 2019
1. Nilai dari ${\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4}}$ adalah .....
a. $-\dfrac{1}{4}$
b. $-\dfrac{1}{8}$
c. $0$
d. $\dfrac{1}{8}$
e. $\dfrac{1}{6}$
Pembahasan
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to3}\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4} & = & \lim_{x\to3}\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\\ & = & \lim_{x\to3}\frac{\left(x-3\right)}{\left(x+2\right)}\\ & = & \frac{\left(3-3\right)}{3+2}\\ & = & \frac{0}{5}\\ & = & 0\end{eqnarray*}
2. Nilai dari ${\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{2x^{2}-x-1}{3x^{2}-x-2}}$ adalah .....
a. $\dfrac{5}{3}$
b. $\dfrac{3}{4}$
c. $\dfrac{2}{3}$
d. $\dfrac{3}{5}$
e. $\dfrac{2}{5}$
Pembahasan
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1}\frac{2x^{2}-x-1}{3x^{2}-x-2} & = & \lim_{x\to1}\frac{\left(2x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(3x+2\right)\left(x-1\right)}\\ & = & \lim_{x\to1}\frac{\left(2x+1\right)}{\left(3x+2\right)}\\ & = & \lim_{x\to1}\frac{\left(2\left(1\right)+1\right)}{\left(3\left(1\right)+2\right)}\\ & = & \frac{3}{5}
\end{eqnarray*}
Menggunakan Turunan Juga bisa dan lebih mudah
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1}\frac{2x^{2}-x-1}{3x^{2}-x-2} & = & \lim_{x\to1}\frac{4x-1}{6x-1}\\ & = & \frac{4\left(1\right)-1}{6\left(1\right)-1}\\ & = & \frac{3}{5}
\end{eqnarray*}
Lebih Mudah kan...
3. Diketahui $f\left(x\right)=2x^{3}-3x^{2}+x-10.$ Jika $f'\left(x\right)$ adalah turunan pertama dari $f\left(x\right)$, maka $f'\left(x\right)=...........$
a. $2x^{2}-3x+1$
b. $6x^{3}-6x^{2}+x$
c. $6x^{2}-6x-10$
d. $6x^{2}-6x+1$
e. $6x^{2}-6x-9$
Pembahasan
\begin{eqnarray*} f\left(x\right) & = & 2x^{3}-3x^{2}+x-10\\ f'\left(x\right) & = & 6x^{2}-6x+1\end{eqnarray*}
4. Fungsi $f$ yang ditentukan oleh $f\left(x\right)=2x^{3}+3x^{2}-36x+5$ turun pada interval ....
a. $-3<x<2$
b. $-2<x<3$
c. $2<x<3$
d. $x<-2$ atau $x>3$
e. $x<-3$ atau $x>2$
Pembahasan
Syarat fungsi turun adalah $f'\left(x\right)<0$. Sehingga $f\left(x\right)=2x^{3}+3x^{2}-36x+5$ menjadi $f'\left(x\right)=6x^{2}+6x-36$. Karena $f'\left(x\right)<0$ maka $6x^{2}+6x-36<0$.
\begin{eqnarray*} 6x^{2}+6x-36 & < & 0\\ x^{2}+x-6 & < & 0\\ \left(x-2\right)\left(x+3\right) & < & 0
\end{eqnarray*}
Sehingga
* $x-2<0\Rightarrow x<2$
* $x+3<0\Rightarrow x<-3$
Kita sudah dapatkan titik kritis $2$ dan $-3$. Kita masukkan kedalam garis bilangan seperti di bawah ini
Dari grafik diatas kita uji bilangan diantara titik kritis tersebut dan mendapatkan nilai negatif atau disebut fungsi turun pada interval\[-3<x<2\]
1. Nilai dari ${\displaystyle \lim_{x\to4}\frac{2x^{2}-7x-4}{3x-12}=.......}$
a. $-3$
b. $-1$
c. 1
d. 3
e. 9
Pembahasan
Jika kita substitusi langsung $x=4$ maka kita peroleh $\dfrac{0}{0}$ (bentuk tak tentu). Soal ini lebih mudah diselesaikan dengan turunan.
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to4}\frac{2x^{2}-7x-4}{3x-12} & = & \lim_{x\to4}\frac{4x-7}{3}\\ & = & \frac{4\left(4\right)-7}{3}\\ & = & \frac{16-7}{3}\\ & = & \frac{9}{3}\\ & = & 3
\end{eqnarray*}
2. Turunan pertama dari fungsi $f\left(x\right)=\dfrac{2x}{x^{2}-5}$ adalah .....
a. $-\dfrac{\left(2x^{2}+10\right)}{\left(x^{2}-5\right)^{2}}$
b. $-\dfrac{x^{2}+10}{\left(x^{2}-5\right)^{2}}$
c. $\dfrac{2x^{2}-10}{x^{4}-10x^{2}+25}$
d. $\dfrac{2x^{2}+10}{x^{4}+25}$
e. $\dfrac{x^{2}-10}{x^{4}-25}$
Pembahasan
dengan menggunakan rumus turunan pembagian $f\left(x\right)=\dfrac{u}{v}$ maka $f'\left(x\right)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ kita coba untuk $u=2x$ maka $u'=2$ dan $v=x^{2}-5$ maka $v'=2x$
\begin{eqnarray*} f'\left(x\right) & = & \frac{2\left(x^{2}-5\right)-2x\left(2x\right)}{\left(x^{2}-5\right)^{2}}\\ & = & \frac{2x^{2}-10-4x^{2}}{\left(x^{2}-5\right)^{2}}\\ & = & \frac{-2x^{2}-10}{\left(x^{2}-5\right)^{2}}\\ & = & -\frac{\left(2x^{2}+10\right)}{\left(x^{2}-5\right)^{2}}
\end{eqnarray*}
3. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^{3}-9x^{2}+15x-14$ turun pada interval....
a. $x<1$ atau $x>5$
b. $x<-5$ atau $x>3$
c. $1<x<5$
d. $-5<x<3$
e. $-5<x<-1$
Pembahasan
Syarat fungsi turun adalah $f'\left(x\right)<0$. Sehingga $f\left(x\right)=x^{3}-9x^{2}+15x-14$ menjadi $f'\left(x\right)=3x^{2}-18x+15$. Karena $f'\left(x\right)<0$ maka $3x^{2}-18x+15<0$.
\begin{eqnarray*} 3x^{2}-18x+15 & < & 0\\ x^{2}-6x+5 & < & 0\\ \left(x-1\right)\left(x-5\right) & < & 0
\end{eqnarray*}
Sehingga
* $x-1<0\Rightarrow x<1$
* $x-5<0\Rightarrow x<5$
Kita sudah dapatkan titik kritis $1$ dan $5$. Kita masukkan kedalam garis bilangan seperti di bawah ini
Dari grafik diatas kita uji bilangan diantara titik kritis tersebut dan mendapatkan nilai negatif atau disebut fungsi turun pada interval \[1<x<5\]
Kali ini saya lanjutkan dengan Pembahasan UN soal-soal Limit dan Turunan Fungsi SMA IPA Tahun 2018
1. Nilai dari ${\displaystyle \lim_{x\to\infty}\sqrt{16x^{2}+10x-3}-4x+1=}$.......
a. $-\dfrac{9}{4}$
b. $-\dfrac{1}{4}$
c. $\dfrac{1}{4}$
d. $\dfrac{5}{4}$
e. $\dfrac{9}{4}$
Pembahasan
Jika ${\displaystyle \lim_{x\to\infty}}\sqrt{ax^{2}+bx+c}-\sqrt{px^{2}+qx+r}$ dengan nilai $a=p$ maka kita cukup menggunakan rumus singkat $\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$. Kita coba saja
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{16x^{2}+10x-3}-4x+1\right) & = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{16x^{2}+10x-3}-\sqrt{\left(4x-1\right)^{2}}\right)\\ & = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{16x^{2}+10x-3}-\sqrt{16x^{2}-8x+1}\right)
\end{eqnarray*}
dari langkah kedua diatas, kita sudah bisa langsung menerapkan rumus $\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$ karena nilai $a=p=9$
\begin{eqnarray*} \frac{b-q}{2\sqrt{a}} & = & \frac{10-\left(-8\right)}{2\sqrt{16}}\\ & = & \frac{18}{2\left(4\right)}\\ & = & \frac{18}{8}\\ & = & \frac{9}{4}
\end{eqnarray*}
Untuk cara manualnya sudah saya jelaskan di atas yah.. Silahkan di Scrool sendiri mousenya... hehe
2. Turunan Pertama dari fungsi $f\left(x\right)=3x^{2}\left(2x-5\right)^{6}$ adalah $f'\left(x\right)=$......
a. $\left(40x^{2}-30x\right)\left(2x-5\right)^{6}$
b. $6x\left(8x-5\right)\left(2x-5\right)^{5}$
c. $6x\left(8x-5\right)\left(2x-5\right)^{6}$
d. $12x\left(8x-5\right)\left(2x-5\right)^{5}$
e. $12x\left(8x-5\right)\left(2x-5\right)^{6}$
Pembahasan :
\[
f\left(x\right)=u\left(x\right)\times v\left(x\right)\Rightarrow f'\left(x\right)=u'\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v'\left(x\right)
\]
\begin{eqnarray*} f\left(x\right) & = & 3x^{2}\left(2x-5\right)^{6}\\ f'\left(x\right) & = & 6x\left(2x-5\right)^{6}+3x^{2}\left(12\right)\left(2x-5\right)^{5}\\ & = & 6x\left(2x-5\right)^{6}+36x^{2}\left(2x-5\right)^{5}\\ & = & 6x\left(2x-5\right)^{5}\left(\left(2x-5\right)+6x\right)\\ & = & 6x\left(8x-5\right)\left(2x-5\right)^{5}
\end{eqnarray*}
3. Fungsi $f\left(x\right)=\dfrac{2}{3}x^{3}-\dfrac{7}{2}x^{2}-4x+5$ turun pada interval ....
a. $x<-4$ atau $x>\dfrac{1}{2}$
b. $x<-\dfrac{1}{2}$ atau $x>4$
c. $-\dfrac{1}{2}<x<4$
d. $-4<x<\dfrac{1}{2}$
e. $-\dfrac{1}{4}<x<2$
Pembahasan
Syarat fungsi turun adalah $f'\left(x\right)<0$. Sehingga $f\left(x\right)=\dfrac{2}{3}x^{3}-\dfrac{7}{2}x^{2}-4x+5$ menjadi $f'\left(x\right)=2x^{2}-7x-4$. Karena $f'\left(x\right)<0$ maka $2x^{2}-7x-4<0$.
\begin{eqnarray*} 2x^{2}-7x-4 & < & 0\\ \left(2x+1\right)\left(x-4\right) & < & 0
\end{eqnarray*}
Sehingga
* $2x+1<0\Rightarrow x<-\dfrac{1}{2}$
* $x-4<0\Rightarrow x<4$
Kita sudah dapatkan titik kritis $-\dfrac{1}{2}$ dan $4$. Kita masukkan kedalam garis bilangan seperti di bawah ini
Dari grafik diatas kita uji bilangan diantara titik kritis tersebut dan mendapatkan nilai negatif atau disebut fungsi turun pada interval\[-\dfrac{1}{2}<x<4\]
4. Diketahui $a$ dan $b$ bilangan-bilangan positif dengan $a+b=300$. Nilai $a^{2}b$ akan mencapai maksimum untuk nilai $b=$......
Pembahasan :
\begin{eqnarray*} a+b & = & 300\\ a & = & 300-b
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} a^{2}b & = & \left(300-b\right)^{2}b\\ & = & \left(90.000-600b+b^{2}\right)b\\ & = & b^{3}-600b^{2}+90.000b
\end{eqnarray*}
Nilai $b$ akan mencapai maksimum jika turunan pertama $=0$ sehingga
\begin{eqnarray*} 3b^{2}-1.200b+90.000 & = & 0\\ b^{2}-400b+30.000 & = & 0\\ \left(b-300\right)\left(b-100\right) & = & 0\\ b=300 & \text{atau} & b=100
\end{eqnarray*}
Karena $a^{2}b=\left(300-b\right)^{2}b$
* Untuk $b=300\Rightarrow a^{2}b=\left(300-300\right)^{2}\left(300\right)=0$
* Untuk $b=100\Rightarrow a^{2}b=\left(300-100\right)^{2}\left(100\right)=4.000.000$
Jadi, maksimum untuk nilai $b=100$
5. Diketahui $f\left(x\right)=\begin{cases}
ax, & x\leq1\\ x+1, & x>1
\end{cases}$. Agar ${\displaystyle \lim_{x\to1}f\left(x\right)}$ mempunyai nilai, maka $a=$......
Pembahasan :
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1}ax & = & \lim_{x\to1}x+1\\ a & = & 1+1\\ a & = & 2
\end{eqnarray*}
Baca Juga :
a. 24
b. 28
c. 30
d. 32
e. 36
Jawaban : C
\begin{eqnarray*} {\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{2x^{2}-5x}{3-\sqrt{9+x}}}\times\left(\frac{3+\sqrt{9+x}}{3+\sqrt{9+x}}\right) & = & \lim_{x\to0}\frac{\left(2x^{2}-5x\right)\left(3+\sqrt{9+x}\right)}{9-\left(9+x\right)}\\ & = & \lim_{x\to0}\frac{x\left(2x-5\right)\left(3+\sqrt{9+x}\right)}{9-9-x}\\ & = & \lim_{x\to0}\frac{x\left(2x-5\right)\left(3+\sqrt{9+x}\right)}{-x}\\ & = & \lim_{x\to0}-\left(2x-5\right)\left(3+\sqrt{9+x}\right)\\ & = & -\left(2\left(0\right)-5\right)\left(3+\sqrt{9+0}\right)\\ & = & -\left(-5\right)\left(3+3\right)\\ & = & 5\times6\\ \lim_{x\to0}\frac{2x^{2}-5x}{3-\sqrt{9+x}} & = & 30
\end{eqnarray*}
2. Nilai dari ${\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}-3x-2\right)=......}$
a. $-3$
b. $-2$
c. $-1$
d. $1$
e. $2$
Jawaban : A
Kita coba dulu menggunakan cara biasa yah. Jangan Pusing duluan.
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}-3x-2\right) & = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}-\sqrt{\left(3x+2\right)^{2}}\right)\\ & = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}-\sqrt{9x^{2}+12x+4}\right)\\ & = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}-\sqrt{9x^{2}+12x+4}\right)\\ & & \times\frac{\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}+\sqrt{9x^{2}+12x+4}\right)}{\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}+\sqrt{9x^{2}+12x+4}\right)}\\ & = & \lim_{x\to\infty}\frac{\left(9x^{2}-6x+7\right)-\left(9x^{2}+12x+4\right)}{\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}+\sqrt{9x^{2}+12x+4}\right)}\\ & = & \lim_{x\to\infty}\frac{\left(9x^{2}-6x+7-9x^{2}-12x-4\right)}{\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}+\sqrt{9x^{2}+12x+4}\right)}\\ & = & \lim_{x\to\infty}\frac{\left(-18x+3\right)}{\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}+\sqrt{9x^{2}+12x+4}\right)}\\ & = & \lim_{x\to\infty}\frac{\left(-18x+3\right)}{\left(\sqrt{x^{2}\left(9-\frac{6}{x}+\frac{7}{x^{2}}\right)}+\sqrt{x^{2}\left(9+\frac{12}{x}+\frac{4}{x^{2}}\right)}\right)}\\ & = & \lim_{x\to\infty}\frac{\left(-18x+3\right)}{\left(x\sqrt{\left(9-\frac{6}{x}+\frac{7}{x^{2}}\right)}+x\sqrt{\left(9+\frac{12}{x}+\frac{4}{x^{2}}\right)}\right)}\\ & = & \lim_{x\to\infty}\frac{x\left(-18+\frac{3}{x}\right)}{x\left(\sqrt{\left(9-\frac{6}{x}+\frac{7}{x^{2}}\right)}+\sqrt{\left(9+\frac{12}{x}+\frac{4}{x^{2}}\right)}\right)}\\ & = & \lim_{x\to\infty}\frac{\left(-18+\frac{3}{x}\right)}{\left(\sqrt{\left(9-\frac{6}{x}+\frac{7}{x^{2}}\right)}+\sqrt{\left(9+\frac{12}{x}+\frac{4}{x^{2}}\right)}\right)}\\ & = & \frac{\left(-18+0\right)}{\left(\sqrt{\left(9-0+0\right)}+\sqrt{\left(9+0+0\right)}\right)}\\ & = & \frac{-18}{\sqrt{9}+\sqrt{9}}\\ & = & \frac{-18}{3+3}\\ & = & \frac{-18}{6}\\ & = & -3
\end{eqnarray*}
Alternatif lain
Jika ${\displaystyle \lim_{x\to\infty}}\sqrt{ax^{2}+bx+c}-\sqrt{px^{2}+qx+r}$
dengan nilai $a=p$ maka kita cukup menggunakan rumus singkat $\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
Kita coba saja
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}-3x-2\right) & = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}-\sqrt{\left(3x+2\right)^{2}}\right)\\ & = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^{2}-6x+7}-\sqrt{9x^{2}+12x+4}\right)
\end{eqnarray*}
dari langkah kedua diatas, kita sudah bisa langsung menerapkan rumus
$\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$ karena nilai $a=p=9$
\begin{eqnarray*} \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} & = & \frac{-6-12}{2\sqrt{9}}\\ & = & \frac{-18}{2\left(3\right)}\\ & = & \frac{-18}{6}\\ & = & -3
\end{eqnarray*}
Mudah kan.
3. Turunan pertama dari $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3x+5}{-2+x},}$ $x\neq2$ adalah$f'\left(x\right)$. Nilai $f'\left(1\right)=$.......
a. $-11$
b. $-6$
c. $-5$
d. $-3$
e. $17$
Jawaban : A
dengan menggunakan rumus turunan pembagian $f\left(x\right)=\dfrac{u}{v}$ maka $f'\left(x\right)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ kita coba untuk $u=3x+5$ maka $u'=3$ dan $v=-2+x$ maka $v'=1$
\begin{eqnarray*} f'\left(x\right) & = & \frac{3\left(-2+x\right)-\left(3x+5\right)\left(1\right)}{\left(-2+x\right)^{2}}\\ & = & \frac{-6+3x-3x-5}{\left(-2+x\right)^{2}}\\ f'\left(x\right) & = & \frac{-11}{\left(-2+x\right)^{2}}
\end{eqnarray*}
Nilai dari $f'\left(1\right)$ adalah
\begin{eqnarray*} f'\left(1\right) & = & \dfrac{-11}{\left(-2+1\right)^{2}}\\ & = & \frac{-11}{\left(-1\right)^{2}}\\ & = & \frac{-11}{1}\\ f'\left(1\right) & = & -11
\end{eqnarray*}
4. Fungsi $f\left(x\right)=x^{3}+3x^{2}-9x+10$ naik pada interval .......
a. $\left\{ x|x<1\,\,\text{atau}\,\, x>3,\, x\in\mathbb{R}\right\} $
b. $\left\{ x|x<-3\,\,\text{atau}\,\, x>1,\, x\in\mathbb{R}\right\} $
c. $\left\{ x|x<-1\,\,\text{atau}\,\, x>3,\, x\in\mathbb{R}\right\} $
d. $\left\{ x|-3<x<1,\, x\in\mathbb{R}\right\} $
e. $\left\{ x|1<x<3,\, x\in\mathbb{R}\right\} $
Jawaban : B
Syarat fungsi naik adalah $f'\left(x\right)>0$. Karena $f\left(x\right)=x^{3}+3x^{2}-9x+10$ maka $f'\left(x\right)=3x^{2}+6x-9$ karena $f'\left(x\right)>0$ maka $3x^{2}+6x-9>0$ atau $x^{2}+2x-3>0$.
\begin{eqnarray*} x^{2}+2x-3 & > & 0\\ \left(x-1\right)\left(x+3\right) & > & 0\\ x=1 & \text{atau } & x=-3
\end{eqnarray*}
Kita sudah dapatkan titik kritis $-3$ dan $1$. Kita masukkan kedalam garis bilangan seperti di bawah ini
5. Yuniati membeli minyak goreng dalam kemasan plastik pada suatu minimarket. Ia ingin memasukkan minyak goreng tersebut pada sebuah tabung tanpa tutup yang permukaannya terbuat dari lempengan seng tipis. Ternyata tabung tanpa tutup dengan luas permukaan $2\pi$ cm$^{2}$ adalah tabung tanpa tutup dengan luas terkecil yang dapat memuat minyak goreng sebanyak $8\pi$ cm$^{3}$. Maka nilai $k$ adalah......
Jawaban : 12
Dari keterangan soal kita peroleh bahwa $V=8\pi$. Karena volume tabung adalah $V=\pi r^{2}t$ maka kita dapatkan
\begin{eqnarray*} V & = & 8\pi\\ \pi r^{2}t & = & 8\pi\\ r^{2}t & = & 8\\ t & = & \frac{8}{r^{2}}
\end{eqnarray*}
padhal kita memiliki luas permukaan tabung tanpa tutup adalah
\begin{eqnarray*} L_{p} & = & \pi r^{2}+2\pi rt\\ & = & \pi r^{2}+2\pi r\left(\frac{8}{r^{2}}\right)\\ L_{P} & = & \pi r^{2}+\frac{16\pi}{r}
\end{eqnarray*}
Karena tabung tanpa tutup dengan luas terkecil maka $L_{p}'=0$
\begin{eqnarray*} L_{P} & = & \pi r^{2}+\frac{16\pi}{r}\\ L_{p}' & = & 2\pi r-\frac{16\pi}{r^{2}}
\end{eqnarray*}
sehingga
\begin{eqnarray*} 2\pi r-\frac{16\pi}{r^{2}} & = & 0\\ 2\pi r & = & \frac{16\pi}{r^{2}}\\ r^{3} & = & 8\\ r & = & \sqrt[3]{8}\\ r & = & 2
\end{eqnarray*}
karena $t=\dfrac{8}{r^{2}}$ maka $t=\dfrac{8}{2^{2}}=2$.
dalam soal disebutkan juga bahwa luas permukaan adalah $k\pi$ maka
\begin{eqnarray*} L_{P} & = & \pi r^{2}+\frac{16\pi}{r}\\ k\pi & = & \pi r^{2}+\frac{16\pi}{r}\\ k\pi & = & \pi\left(2^{2}\right)+\frac{16\pi}{2}
\end{eqnarray*}
kita bagi semua dengan $\pi$ maka menjadi
\begin{eqnarray*} k\pi & = & \pi\left(2^{2}\right)+\frac{16\pi}{2}\\ k\pi & = & 4\pi+8\pi\\ k & = & 4+8\\ k & = & 12
\end{eqnarray*}
Membahas Soal-Soal Limit dan Turunan Fungsi di Bocoran UN Matematika SMA Tahun 2019
Kali ini saya lanjutkan dengan Pembahasan Bocoran soal-soal Limit dan Turunan Fungsi SMA IPS Tahun 2019
1. Nilai dari ${\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4}}$ adalah .....
a. $-\dfrac{1}{4}$
b. $-\dfrac{1}{8}$
c. $0$
d. $\dfrac{1}{8}$
e. $\dfrac{1}{6}$
Pembahasan
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to3}\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4} & = & \lim_{x\to3}\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\\ & = & \lim_{x\to3}\frac{\left(x-3\right)}{\left(x+2\right)}\\ & = & \frac{\left(3-3\right)}{3+2}\\ & = & \frac{0}{5}\\ & = & 0\end{eqnarray*}
2. Nilai dari ${\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{2x^{2}-x-1}{3x^{2}-x-2}}$ adalah .....
a. $\dfrac{5}{3}$
b. $\dfrac{3}{4}$
c. $\dfrac{2}{3}$
d. $\dfrac{3}{5}$
e. $\dfrac{2}{5}$
Pembahasan
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1}\frac{2x^{2}-x-1}{3x^{2}-x-2} & = & \lim_{x\to1}\frac{\left(2x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(3x+2\right)\left(x-1\right)}\\ & = & \lim_{x\to1}\frac{\left(2x+1\right)}{\left(3x+2\right)}\\ & = & \lim_{x\to1}\frac{\left(2\left(1\right)+1\right)}{\left(3\left(1\right)+2\right)}\\ & = & \frac{3}{5}
\end{eqnarray*}
Menggunakan Turunan Juga bisa dan lebih mudah
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1}\frac{2x^{2}-x-1}{3x^{2}-x-2} & = & \lim_{x\to1}\frac{4x-1}{6x-1}\\ & = & \frac{4\left(1\right)-1}{6\left(1\right)-1}\\ & = & \frac{3}{5}
\end{eqnarray*}
Lebih Mudah kan...
3. Diketahui $f\left(x\right)=2x^{3}-3x^{2}+x-10.$ Jika $f'\left(x\right)$ adalah turunan pertama dari $f\left(x\right)$, maka $f'\left(x\right)=...........$
a. $2x^{2}-3x+1$
b. $6x^{3}-6x^{2}+x$
c. $6x^{2}-6x-10$
d. $6x^{2}-6x+1$
e. $6x^{2}-6x-9$
Pembahasan
\begin{eqnarray*} f\left(x\right) & = & 2x^{3}-3x^{2}+x-10\\ f'\left(x\right) & = & 6x^{2}-6x+1\end{eqnarray*}
4. Fungsi $f$ yang ditentukan oleh $f\left(x\right)=2x^{3}+3x^{2}-36x+5$ turun pada interval ....
a. $-3<x<2$
b. $-2<x<3$
c. $2<x<3$
d. $x<-2$ atau $x>3$
e. $x<-3$ atau $x>2$
Pembahasan
Syarat fungsi turun adalah $f'\left(x\right)<0$. Sehingga $f\left(x\right)=2x^{3}+3x^{2}-36x+5$ menjadi $f'\left(x\right)=6x^{2}+6x-36$. Karena $f'\left(x\right)<0$ maka $6x^{2}+6x-36<0$.
\begin{eqnarray*} 6x^{2}+6x-36 & < & 0\\ x^{2}+x-6 & < & 0\\ \left(x-2\right)\left(x+3\right) & < & 0
\end{eqnarray*}
Sehingga
* $x-2<0\Rightarrow x<2$
* $x+3<0\Rightarrow x<-3$
Kita sudah dapatkan titik kritis $2$ dan $-3$. Kita masukkan kedalam garis bilangan seperti di bawah ini
Dari grafik diatas kita uji bilangan diantara titik kritis tersebut dan mendapatkan nilai negatif atau disebut fungsi turun pada interval\[-3<x<2\]
SMK TKP 2018
1. Nilai dari ${\displaystyle \lim_{x\to4}\frac{2x^{2}-7x-4}{3x-12}=.......}$
a. $-3$
b. $-1$
c. 1
d. 3
e. 9
Pembahasan
Jika kita substitusi langsung $x=4$ maka kita peroleh $\dfrac{0}{0}$ (bentuk tak tentu). Soal ini lebih mudah diselesaikan dengan turunan.
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to4}\frac{2x^{2}-7x-4}{3x-12} & = & \lim_{x\to4}\frac{4x-7}{3}\\ & = & \frac{4\left(4\right)-7}{3}\\ & = & \frac{16-7}{3}\\ & = & \frac{9}{3}\\ & = & 3
\end{eqnarray*}
2. Turunan pertama dari fungsi $f\left(x\right)=\dfrac{2x}{x^{2}-5}$ adalah .....
a. $-\dfrac{\left(2x^{2}+10\right)}{\left(x^{2}-5\right)^{2}}$
b. $-\dfrac{x^{2}+10}{\left(x^{2}-5\right)^{2}}$
c. $\dfrac{2x^{2}-10}{x^{4}-10x^{2}+25}$
d. $\dfrac{2x^{2}+10}{x^{4}+25}$
e. $\dfrac{x^{2}-10}{x^{4}-25}$
Pembahasan
dengan menggunakan rumus turunan pembagian $f\left(x\right)=\dfrac{u}{v}$ maka $f'\left(x\right)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ kita coba untuk $u=2x$ maka $u'=2$ dan $v=x^{2}-5$ maka $v'=2x$
\begin{eqnarray*} f'\left(x\right) & = & \frac{2\left(x^{2}-5\right)-2x\left(2x\right)}{\left(x^{2}-5\right)^{2}}\\ & = & \frac{2x^{2}-10-4x^{2}}{\left(x^{2}-5\right)^{2}}\\ & = & \frac{-2x^{2}-10}{\left(x^{2}-5\right)^{2}}\\ & = & -\frac{\left(2x^{2}+10\right)}{\left(x^{2}-5\right)^{2}}
\end{eqnarray*}
3. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^{3}-9x^{2}+15x-14$ turun pada interval....
a. $x<1$ atau $x>5$
b. $x<-5$ atau $x>3$
c. $1<x<5$
d. $-5<x<3$
e. $-5<x<-1$
Pembahasan
Syarat fungsi turun adalah $f'\left(x\right)<0$. Sehingga $f\left(x\right)=x^{3}-9x^{2}+15x-14$ menjadi $f'\left(x\right)=3x^{2}-18x+15$. Karena $f'\left(x\right)<0$ maka $3x^{2}-18x+15<0$.
\begin{eqnarray*} 3x^{2}-18x+15 & < & 0\\ x^{2}-6x+5 & < & 0\\ \left(x-1\right)\left(x-5\right) & < & 0
\end{eqnarray*}
Sehingga
* $x-1<0\Rightarrow x<1$
* $x-5<0\Rightarrow x<5$
Kita sudah dapatkan titik kritis $1$ dan $5$. Kita masukkan kedalam garis bilangan seperti di bawah ini
Dari grafik diatas kita uji bilangan diantara titik kritis tersebut dan mendapatkan nilai negatif atau disebut fungsi turun pada interval \[1<x<5\]
Membahas Soal-Soal Limit dan Turunan Fungsi di Bocoran UN SMA IPA Tahun 2018
Kali ini saya lanjutkan dengan Pembahasan UN soal-soal Limit dan Turunan Fungsi SMA IPA Tahun 2018
1. Nilai dari ${\displaystyle \lim_{x\to\infty}\sqrt{16x^{2}+10x-3}-4x+1=}$.......
a. $-\dfrac{9}{4}$
b. $-\dfrac{1}{4}$
c. $\dfrac{1}{4}$
d. $\dfrac{5}{4}$
e. $\dfrac{9}{4}$
Pembahasan
Jika ${\displaystyle \lim_{x\to\infty}}\sqrt{ax^{2}+bx+c}-\sqrt{px^{2}+qx+r}$ dengan nilai $a=p$ maka kita cukup menggunakan rumus singkat $\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$. Kita coba saja
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{16x^{2}+10x-3}-4x+1\right) & = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{16x^{2}+10x-3}-\sqrt{\left(4x-1\right)^{2}}\right)\\ & = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{16x^{2}+10x-3}-\sqrt{16x^{2}-8x+1}\right)
\end{eqnarray*}
dari langkah kedua diatas, kita sudah bisa langsung menerapkan rumus $\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$ karena nilai $a=p=9$
\begin{eqnarray*} \frac{b-q}{2\sqrt{a}} & = & \frac{10-\left(-8\right)}{2\sqrt{16}}\\ & = & \frac{18}{2\left(4\right)}\\ & = & \frac{18}{8}\\ & = & \frac{9}{4}
\end{eqnarray*}
Untuk cara manualnya sudah saya jelaskan di atas yah.. Silahkan di Scrool sendiri mousenya... hehe
2. Turunan Pertama dari fungsi $f\left(x\right)=3x^{2}\left(2x-5\right)^{6}$ adalah $f'\left(x\right)=$......
a. $\left(40x^{2}-30x\right)\left(2x-5\right)^{6}$
b. $6x\left(8x-5\right)\left(2x-5\right)^{5}$
c. $6x\left(8x-5\right)\left(2x-5\right)^{6}$
d. $12x\left(8x-5\right)\left(2x-5\right)^{5}$
e. $12x\left(8x-5\right)\left(2x-5\right)^{6}$
Pembahasan :
\[
f\left(x\right)=u\left(x\right)\times v\left(x\right)\Rightarrow f'\left(x\right)=u'\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v'\left(x\right)
\]
\begin{eqnarray*} f\left(x\right) & = & 3x^{2}\left(2x-5\right)^{6}\\ f'\left(x\right) & = & 6x\left(2x-5\right)^{6}+3x^{2}\left(12\right)\left(2x-5\right)^{5}\\ & = & 6x\left(2x-5\right)^{6}+36x^{2}\left(2x-5\right)^{5}\\ & = & 6x\left(2x-5\right)^{5}\left(\left(2x-5\right)+6x\right)\\ & = & 6x\left(8x-5\right)\left(2x-5\right)^{5}
\end{eqnarray*}
3. Fungsi $f\left(x\right)=\dfrac{2}{3}x^{3}-\dfrac{7}{2}x^{2}-4x+5$ turun pada interval ....
a. $x<-4$ atau $x>\dfrac{1}{2}$
b. $x<-\dfrac{1}{2}$ atau $x>4$
c. $-\dfrac{1}{2}<x<4$
d. $-4<x<\dfrac{1}{2}$
e. $-\dfrac{1}{4}<x<2$
Pembahasan
Syarat fungsi turun adalah $f'\left(x\right)<0$. Sehingga $f\left(x\right)=\dfrac{2}{3}x^{3}-\dfrac{7}{2}x^{2}-4x+5$ menjadi $f'\left(x\right)=2x^{2}-7x-4$. Karena $f'\left(x\right)<0$ maka $2x^{2}-7x-4<0$.
\begin{eqnarray*} 2x^{2}-7x-4 & < & 0\\ \left(2x+1\right)\left(x-4\right) & < & 0
\end{eqnarray*}
Sehingga
* $2x+1<0\Rightarrow x<-\dfrac{1}{2}$
* $x-4<0\Rightarrow x<4$
Kita sudah dapatkan titik kritis $-\dfrac{1}{2}$ dan $4$. Kita masukkan kedalam garis bilangan seperti di bawah ini
Dari grafik diatas kita uji bilangan diantara titik kritis tersebut dan mendapatkan nilai negatif atau disebut fungsi turun pada interval\[-\dfrac{1}{2}<x<4\]
4. Diketahui $a$ dan $b$ bilangan-bilangan positif dengan $a+b=300$. Nilai $a^{2}b$ akan mencapai maksimum untuk nilai $b=$......
Pembahasan :
\begin{eqnarray*} a+b & = & 300\\ a & = & 300-b
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} a^{2}b & = & \left(300-b\right)^{2}b\\ & = & \left(90.000-600b+b^{2}\right)b\\ & = & b^{3}-600b^{2}+90.000b
\end{eqnarray*}
Nilai $b$ akan mencapai maksimum jika turunan pertama $=0$ sehingga
\begin{eqnarray*} 3b^{2}-1.200b+90.000 & = & 0\\ b^{2}-400b+30.000 & = & 0\\ \left(b-300\right)\left(b-100\right) & = & 0\\ b=300 & \text{atau} & b=100
\end{eqnarray*}
Karena $a^{2}b=\left(300-b\right)^{2}b$
* Untuk $b=300\Rightarrow a^{2}b=\left(300-300\right)^{2}\left(300\right)=0$
* Untuk $b=100\Rightarrow a^{2}b=\left(300-100\right)^{2}\left(100\right)=4.000.000$
Jadi, maksimum untuk nilai $b=100$
5. Diketahui $f\left(x\right)=\begin{cases}
ax, & x\leq1\\ x+1, & x>1
\end{cases}$. Agar ${\displaystyle \lim_{x\to1}f\left(x\right)}$ mempunyai nilai, maka $a=$......
Pembahasan :
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1}ax & = & \lim_{x\to1}x+1\\ a & = & 1+1\\ a & = & 2
\end{eqnarray*}
Penutup Pembahasan Soal-Soal Limit dan Turunan Fungsi
Demikian pembahasan saya tentang Soal-Soal Limit dan Turunan Fungsi yang saya ambil dari bocoran soal UN dari Pak Anang, UN Matematika SMK TKP Tahun 2018 dan UN Matematika SMA IPA Tahun 2018. Semoga bisa bermanfaat. Jangan Lupa Baca Artikel Kami yang lainnya di blog ini yah...Baca Juga :
Posting Komentar untuk "Membahas Soal-Soal Limit dan Turunan Fungsi di Bocoran UN Matematika SMA"