Membahas Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi (Lanjutan)

Sudah hampir satu bulan saya tidak melanjutkan pembahasan mengenai fungsi komposisi dan fungsi invers seperti yang sudah saya janjikan. Dalam postingan sebelumnya  saya menjanjikan membahas 10 nomor soal mengenai fungsi komposisi dan fungsi invers  dan pada akhir postingan pembahasan saya berikan pembahasan dalam bentuk PDF. Namun karena kesibukan yang mendadak saya belum bisa memberikan pembahasan dalam bentuk PDF namun saya akan melanjutkan pembahasan nomor 11 sampai nomor 20.

Soal-soal yang saya bahas disini tentunya tidak terlalu rumit dan masih bisa dijangkau oleh pemikiran siswa SMA di desa. Soal pembahasan ini juga sebagian diambil dari soal Ujian Nasional dan kumpulan soal-soal latihan di buku. Postingan tetap menggunakan spoiler untuk menghemat area postingan. Silahkan belajar dengan mengerjakan soalnya dulu dan jika sudah mendapatkan jawabannya bisa dicocokkan dengan membuka spoiler yang sudah saya sediakan.


11. Bila $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x+2}{3-x}}$ dengan $x\ne 3$ maka invers dari $f\left(x\right)$ adalah $f^{-1}\left(x\right)=.....$

Jawaban
$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{x+2}{3-x}}\\ y& =& {\displaystyle \frac{x+2}{3-x}}\\ 3y-xy& =& x+2\\ 3y-2& =& x+xy\\ 3y-2& =& x(1+y)\\ x& =& \frac{3y-2}{1+y}\\ f^{-1}\left(x\right)& =& \frac{3x-2}{1+x},x\ne -1\end{array}$$
12. Invers dari $f\left(x\right)={(1-x^3)}^{\frac{1}{5}}+2$ adalah....

Jawaban
$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& {(1-x^3)}^{\frac{1}{5}}+2\\ y& =& {(1-x^3)}^{\frac{1}{5}}+2\\ y-2& =& {(1-x^3)}^{\frac{1}{5}}\\ {(y-2)}^5& =& 1-x^3\\ x^3& =& 1-{(y-2)}^5\\ x& =& \sqrt[3]{1-{(y-2)}^5}\\ x& =& {(1-{(y-2)}^5)}^{\frac{1}{3}}\\ f^{-1}\left(x\right)& =& {(1-{(x-2)}^5)}^{\frac{1}{3}}\end{array}$$
13. Jika $f\left(x\right)=3^{x-1}$ maka $f^{-1}\left(81\right)=$.....

Jawaban
$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& 3^{x-1}\\ y& =& 3^{x-1}\\ y& =& 3^x\cdot 3^{-1}\\ y& =& 3^x\cdot \frac{1}{3}\\ 3y& =& 3^x\\ x& =& {}^3\log \left(3y\right)\\ f^{-1}\left(x\right)& =& {}^3\log \left(3x\right)\\ f^{-1}\left(81\right)& =& {}^3\log (3\cdot 81)\\ & =& {}^3\log \left(243\right)\\ & =& {}^3\log \left(3^5\right)\\ & =& 5{\cdot }^3\log 3\\ & =& 5\times 1\\ f^{-1}\left(81\right)& =& 5\end{array}$$
14. Fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dan $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dirumuskan dengan $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}x-1$ dan $g\left(x\right)=2x+4$ maka ${(g\circ f)}^{-1}\left(10\right)$ adalah ....

Jawaban
$$\begin{array}{rcl}(g\circ f)\left(x\right)& =& g\left(f\left(x\right)\right)\\ & =& 2(\frac{1}{2}x-1)+4\\ & =& x-2+4\\ & =& x+2\end{array}$$ $$\begin{array}{rcl}(g\circ f)\left(x\right)& =& y\\ y& =& x+2\\ x& =& y-2\\ {(g\circ f)}^{-1}\left(x\right)& =& x-2\\ {(g\circ f)}^{-1}\left(10\right)& =& 10-2\\ & =& 8\end{array}$$
15. Jika $f^{-1}\left(x\right)={\displaystyle \frac{x-1}{5}}$ dan $g^{-1}\left(x\right)={\displaystyle \frac{3-x}{2}}$ maka ${(f\circ g)}^{-1}\left(6\right)=....$

Jawaban
$$\begin{array}{rcl}{(f\circ g)}^{-1}\left(x\right)& =& (f^{-1}\circ g^{-1})\left(x\right)\\ & =& \frac{\left({\displaystyle \frac{3-x}{2}}\right)-1}{5}\\ & =& \frac{\left({\displaystyle \frac{3-x}{2}}\right)-{\displaystyle \frac{2}{2}}}{5}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{1-x}{2}}}{5}\\ {(f\circ g)}^{-1}\left(x\right)& =& \frac{1-x}{10}\\ {(f\circ g)}^{-1}\left(6\right)& =& \frac{1-6}{10}\\ & =& \frac{-5}{10}\\ & =& -\frac{1}{2}\end{array}$$
16. Jika $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x-1}}$ dan $g\left(x\right)=x-2$ maka ${(g\circ f)}^{-1}\left(x\right)$= .......

Jawaban
$$\begin{array}{rcl}(g\circ f)\left(x\right)& =& g\left(f\left(x\right)\right)\\ & =& \frac{1}{x-1}-2\\ & =& \frac{1}{x-1}-\frac{2(x-1)}{x-1}\\ & =& \frac{1}{x-1}-\frac{2x+2}{x-1}\\ (g\circ f)\left(x\right)& =& \frac{-2x+3}{x-1}\\ (g\circ f)\left(x\right)& =& y\\ y& =& \frac{-2x+3}{x-1}\\ xy-y& =& -2x+3\\ xy+2x& =& y+3\\ x(y+2)& =& y+3\\ x& =& \frac{y+3}{y+2}\\ {(g\circ f)}^{-1}\left(x\right)& =& \frac{x+3}{x+2},x\ne -2\end{array}$$
17. Diketahui $f\left(x\right){=}^5\log x$ dan $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{x+3}{3x-4}}$ maka ${(f\circ g)}^{-1}\left(x\right)=.......$

Jawaban
$$\begin{array}{rcl}(f\circ g)\left(x\right)& =& f\left(g\left(x\right)\right)\\ (f\circ g)\left(x\right)& =& {}^5\log \left({\displaystyle \frac{x+3}{3x-4}}\right)\\ {(f\circ g)}^{-1}\left(x\right)& =& y\\ y& =& {}^5\log \left({\displaystyle \frac{x+3}{3x-4}}\right)\\ 5^y& =& {\displaystyle \frac{x+3}{3x-4}}\\ 3x\cdot 5^y-4\cdot 5^y& =& x+3\\ 3x\cdot 5^y-x& =& 4\cdot 5^y+3\\ x(3\cdot 5^y-1)& =& 4\cdot 5^y+3\\ x& =& \frac{4\cdot 5^y+3}{3\cdot 5^y-1}\\ {(f\circ g)}^{-1}\left(x\right)& =& \frac{4\cdot 5^x+3}{3\cdot 5^x-1}\end{array}$$

18. Jika $(f\circ g)\left(x\right)=4x^2+8x-3$ dan $g\left(x\right)=2x+4$ maka $f^{-1}\left(x\right)=$......

Jawaban
$$\begin{array}{rcl}(f\circ g)\left(x\right)& =& f\left(g\left(x\right)\right)\\ f\left(g\left(x\right)\right)& =& 4x^2+8x-3\\ f(2x+4)& =& 4x^2+8x-3\end{array}$$ Misalkan $u=2x+4$ maka $2x=u-4\Rightarrow x={\displaystyle \frac{u-4}{2}}$ $$\begin{array}{rcl}f\left(u\right)& =& 4{\left({\displaystyle \frac{u-4}{2}}\right)}^2+8\left({\displaystyle \frac{u-4}{2}}\right)-3\\ & =& 4\left(\frac{1}{4}(u^2-8u+16)\right)+4u-16-3\\ & =& u^2-8u+16+4u-16-3\\ & =& u^2-4u-3\\ f\left(x\right)& =& x^2-4x-3\end{array}$$ Misalkan $f\left(x\right)=y$ maka $$\begin{array}{rcl}y& =& x^2-4x-3\\ y& =& x^2-4x+4-7\\ y& =& {(x-2)}^2-7\\ y+7& =& {(x-2)}^2\\ x-2& =& \sqrt{y+7}\\ x& =& \sqrt{y+7}+2\\ f^{-1}\left(x\right)& =& \sqrt{x+7}+2\end{array}$$
19. Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dinyatakan dengan $f\left(x\right)=2x+4,g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x+5}{x-4}}$ dan $h\left(x\right)=(g\circ f^{-1})\left(x\right)$ dengan $f^{-1}$ adalah fungsi invers dari $f$ dan $h^{-1}$ adalah invers dari $h$. Rumus fungsi $h^{-1}\left(x\right)$ adalah ....

Jawaban
$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& 2x+4\\ y& =& 2x+4\\ 2x& =& y-4\\ x& =& \frac{y-4}{2}\\ f^{-1}\left(x\right)& =& \frac{x-4}{2}\end{array}$$ $$\begin{array}{rcl}(g\circ f^{-1})\left(x\right)& =& g\left(f^{-1}\left(x\right)\right)\\ & =& \frac{2\left({\displaystyle \frac{x-4}{2}}\right)+5}{\left({\displaystyle \frac{x-4}{2}}\right)-4}\\ & =& \frac{x-4+5}{{\displaystyle \frac{x-4}{2}}-{\displaystyle \frac{8}{2}}}\\ & =& \frac{x+1}{{\displaystyle \frac{x-12}{2}}}\\ h\left(x\right)& =& \frac{2x+2}{x-12}\end{array}$$ Misalkan $h\left(x\right)=y$ maka $$\begin{array}{rcl}y& =& {\displaystyle \frac{2x+2}{x-12}}\\ xy-12y& =& 2x+2\\ xy-2x& =& 12y+2\\ x(y-2)& =& 12y+2\\ x& =& \frac{12y+2}{y-2}\\ h^{-1}\left(x\right)& =& \frac{12x+2}{x-2}\end{array}$$
20. Fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dan $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ditentukan oleh $f\left(x\right)=x+2$ dan $g\left(x\right)=2x$. Jumlah akar-akar persamaan $(g\circ f)(x^2-24x)=0$ adalah ....

Jawaban
$$\begin{array}{rcl}(g\circ f)\left(x\right)& =& g\left(f\left(x\right)\right)\\ & =& 2(x+2)\\ (g\circ f)\left(x\right)& =& 2x+4\\ y& =& 2x+4\\ 2x& =& y-4\\ x& =& \frac{y-4}{2}\\ {(g\circ f)}^{-1}\left(x\right)& =& \frac{x-4}{2}\end{array}$$ $$\begin{array}{rcl}{(g\circ f)}^{-1}(x^2-24x)& =& \frac{(x^2-24x)-4}{2}\\ 0& =& \frac{x^2-24x-4}{2}\\ x^2-24x-4& =& 0\end{array}$$ Berdasarkan teorema Vieta diperoleh $$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -{\displaystyle \frac{b}{a}}\\ & =& -\frac{(-24)}{1}\\ & =& 24\end{array}$$ Pada postingan pembahasan selanjutnya Insya Allah akan saya berikan pembahasan dalam bentuk PDF. Mengingat banyaknya equation yang cukup merepotkan penulisan namun akan tetap saya usahakan untuk bisa segera diposting dan dinikmati oleh pembaca. Sekian dulu postingan saya kali ini. Jika ada trik yang lebih singkat dan cepat, silahkan komentar di bawah.