Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi (Lanjutan)

Melanjutkan postingan sebelumnya untuk soal yang belum tuntas. Kali ini akan saya tuntaskan dan sudah saya convert menjadi PDF. namun format PDF saya posting di postingan selanjutnya. Kali ini saya memposting sisa 6 soal yang nampaknya cukup lumayan tapi masih dalam kategori mudah. Mari kita lihat soal dan pembahasannya. Pembahasan kali ini agak sedikit panjang dan kurang praktis karena semua bagian di jelaskan secara detail. Bagi anda yang sudah paham mengenai konsep komposisi dan invers fungsi dapat langsung menggunakan trik-trik jitu yang anda pahami.
27. Dari fungsi $f$ dan $g$ diketahui $f\left(x\right)=2x^2+3x-5$ dan $g\left(x\right)=3x-2$. Agar $(g\circ f)\left(a\right)=-11$ maka nilai $a$ yang positif adalah ....

Jawaban

$$\begin{array}{rcl}(g\circ f)\left(x\right)& =& g\left(f\left(x\right)\right)\\ & =& 3(2x^2+3x-5)-2\\ & =& 6x^2+9x-15-2\\ & =& 6x^2+9x-17\\ (g\circ f)\left(a\right)& =& 6a^2+9a-17\\ -11& =& 6a^2+9a-17\\ 6a^2+9a-6& =& 0\\ 2a^2+3a-2& =& 0\\ (2a-1)(a+2)& =& 0\\ a=\frac{1}{2}& \text{atau}& a=-2\end{array}$$ Jadi $a$ positif adalah $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$

28. Diketahui $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1-x}{x}}$ untuk setiap bilangan Real $x\ne 1$. Jika $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ adalah suatu fungsi sehingga $(g\circ f)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=2x+1$ maka fungsi invers $g^{-1}\left(x\right)=$....

Jawaban

$$\begin{array}{rcl}(g\circ f)\left(x\right)& =& 2x+1\\ g\left(f\left(x\right)\right)& =& 2x+1\\ f\left(\frac{1-x}{x}\right)& =& 2x+2\end{array}$$
Misalkan
$$\begin{array}{rcl}t& =& {\displaystyle \frac{1-x}{x}}\\ tx& =& 1-x\\ tx+x& =& 1\\ x(t+1)& =& 1\\ x& =& \frac{1}{t+1}\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}g\left(t\right)& =& 2\left(\frac{1}{t+1}\right)+1\\ & =& \frac{2}{t+1}+\frac{t+1}{t+1}\\ & =& \frac{t+3}{t+1}\\ g\left(x\right)& =& \frac{x+3}{x+1}\\ y& =& \frac{x+3}{x+1}\\ xy+y& =& x+3\\ x-xy& =& y-3\\ x(1-y)& =& y-3\\ x& =& \frac{y-3}{1-y}\\ g^{-1}\left(x\right)& =& \frac{x-3}{1-x},x\ne 1\end{array}$$

29. Jika $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x+1}}$ dan $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{3-x}},x\ne 3$ maka ${(f\circ g)}^{-1}\left(x\right)=.....$
Jawaban

$$\begin{array}{rcl}(f\circ g)\left(x\right)& =& f\left(g\left(x\right)\right)\\ & =& \frac{1}{{\displaystyle {\displaystyle \frac{2}{3-x}}+1}}\\ & =& \frac{1}{{\displaystyle {\displaystyle \frac{2}{3-x}}+{\displaystyle \frac{(3-x)}{3-x}}}}\\ & =& \frac{1}{{\displaystyle \frac{5-x}{3-x}}}\\ (f\circ g)\left(x\right)& =& \frac{3-x}{5-x}\\ y& =& \frac{3-x}{5-x}\\ 5y-xy& =& 3-x\\ 5y-3& =& xy-x\\ 5y-3& =& x(y-1)\\ x& =& \frac{5y-3}{y-1}\\ {(f\circ g)}^{-1}\left(x\right)& =& \frac{5x-3}{x-1},x\ne 1\end{array}$$

30. Jika $f\left(x\right)=\sqrt{x},x\ge 0,$ dan $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{x+1}},x\ne 1$ maka $(g\circ f)\left(2\right)=$......

Jawaban

$$\begin{array}{rcl}(g\circ f)\left(x\right)& =& g\left(f\left(x\right)\right)\\ (g\circ f)\left(x\right)& =& \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\\ y& =& \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\\ y\sqrt{x}+y& =& \sqrt{x}\\ \sqrt{x}-y\sqrt{x}& =& y\\ \sqrt{x}(1-y)& =& y\\ \sqrt{x}& =& \frac{y}{1-y}\\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2& =& {\left(\frac{y}{1-y}\right)}^2\\ x& =& {\left(\frac{y}{1-y}\right)}^2\\ {(g\circ f)}^{-1}\left(x\right)& =& {\left(\frac{x}{1-x}\right)}^2\\ {(g\circ f)}^{-1}\left(2\right)& =& {\left(\frac{2}{1-2}\right)}^2\\ & =& {(-2)}^2\\ {(g\circ f)}^{-1}\left(2\right)& =& 4\end{array}$$

31. Diberikan fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dan $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ditentukan oleh $f\left(x\right)=x^3$ dan $g\left(x\right)=3x-4$. Jika $a=(g^{-1}\circ f^{-1})\left(8\right)$ maka nilai
dari $(f^{-1}\circ g^{-1})\left(10a\right)$ adalah ....

Jawaban

$$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)& =& 3x-4\\ y& =& 3x-4\\ x& =& \frac{y+4}{3}\\ g^{-1}\left(x\right)& =& \frac{x+4}{3}\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& x^3\\ y& =& x^3\\ x& =& \sqrt[3]{y}\\ f^{-1}\left(x\right)& =& \sqrt[3]{x}\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}(g^{-1}\circ f^{-1})\left(x\right)& =& g^{-1}\left(f^{-1}\left(x\right)\right)\\ (g^{-1}\circ f^{-1})\left(x\right)& =& \frac{\sqrt[3]{x}+4}{3}\\ (g^{-1}\circ f^{-1})\left(8\right)& =& \frac{\sqrt[3]{8}+4}{3}\\ a& =& \frac{2+4}{3}\\ a& =& 2\end{array}$$
\begin{eqnarray*}
\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(x\right) & = & f^{-1}\left(g^{-1}\left(x\right)\right)\
& = & \sqrt[3]{\frac{x+4}{3}}\
\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(10a\right) & = & \sqrt[3]{\frac{10a+4}{3}}\
& = & \sqrt[3]{\frac{10\left(2\right)+4}{3}}\

& = & \sqrt[3]{\frac{20+4}{3}}\
& = & \sqrt[3]{8}\
\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(10a\right) & = & 2
\end{eqnarray*}

32. Fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ditentukan oleh $f\left(x\right)=3x-1$ dan $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ memenuhi ${(f\circ g)}^{-1}\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{6}x-\frac{4}{3}}$ maka $g\left(x\right)=$....

Jawaban

$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& 3x-1\\ y& =& 3x-1\\ x& =& \frac{y+1}{3}\\ f^{-1}\left(x\right)& =& \frac{x+1}{3}\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}{(f\circ g)}^{-1}\left(x\right)& =& f^{-1}\left(g^{-1}\left(x\right)\right)\\ \frac{\left(g^{-1}\left(x\right)\right)+1}{3}& =& {\displaystyle \frac{1}{6}x-\frac{4}{3}}\\ \left(g^{-1}\left(x\right)\right)+1& =& {\displaystyle \frac{3}{6}x-\frac{12}{3}}\\ \left(g^{-1}\left(x\right)\right)& =& {\displaystyle \frac{3}{6}x-\frac{12}{3}}-1\\ g^{-1}\left(x\right)& =& \frac{3}{6}x-\frac{15}{3}\end{array}$$
Kita sudah mengetahui bahwa ${\left(g^{-1}\right)}^{-1}\left(x\right)=g\left(x\right)$ sehingga tugas kita tinggal meng inverskan saja fungsi $g^{-1}\left(x\right)$ diatas menjadi
$$\begin{array}{rcl}{g}^{-1}\left(x\right)& =& \frac{3}{6}x-\frac{15}{3}\\ y& =& \frac{3}{6}x-\frac{15}{3}\\ y& =& \frac{3x-30}{6}\\ 6y& =& 3x-30\\ 3x& =& 6y+30\\ x& =& \frac{6y+30}{3}\\ x& =& 2y+10\\ g\left(x\right)& =& 2x+10\end{array}$$

Sekian dulu pembahasan yang dapat saya berikan. Mudah-mudahan dapat berguna bagi kita sekalian. Jika pembahasan diatas terdapat kesalahan agar kiranya dapat langsung menghubungi penulis lewat blog kami di http://blogmatematika.net. Kesalahan penulisan maupun pengerjaan tidak terlepas dari kodrat kita sebagai manusia biasa. Jika anda memiliki ide yang lebih sederhana dapat langsung mengirimkannya juga di blog kami. Terima kasih 

Minakarya, 9 Maret 2014 

Penulis 

Fendi Alfi Fauzi