Pembahasan Ujian Nasional Matematika SMP Tahun 2014-2015 Tentang Barisan dan Deret

Ujian nasional (UN) sudah di depan mata. Sudah saatnya kita mencoba menghajar soal-soal Ujian Nasional yang kemarin. Mudah-mudahan Soal Ujian Nasional Kemarin sedikit sama dengan Soal-Soal Mendatang. Berikut ini saya coba membahas soal tentang barisan dan deret aritmetika maupun deret geometri.Diketahui barisan bilangan $4,13,22,31,40,.......$ Suku ke-35 adalah .....

a. 310
b. 315
c. 319
d. 328

Jawaban : 

Barisan diatas adalah barisan aritmatika dengan suku awal $a=4$ dan beda $b=9$ sehingga
$$\begin{array}{rcl}{U}_n& =& a+(n-1)b\\ U_{35}& =& 4+(35-1)9\\ & =& 4+34\times 9\\ & =& 4+306\\ U_{35}& =& 310\end{array}$$ Seutas tali dipotong menjadi lima bagian dengan panjang masing-masing bagian membentuk barisan geometri. Jika potongan tali yang terpendek 6 m dan potongan tali yang terpanjang 96 m, panjang tali semula adalah ....

a. 224 m
b. 216 m
c. 192 m
d. 186 m

Jawaban : 

Jika tali terpendek 6 m dan tali terpanjang 96 m maka kita dapatkan $a=6$ dan $U_5=96$. Karena $U_n=a{r}^{n-1}$ maka
$$\begin{array}{rcl}{U}_5=6r^{5-1}& =& 96\\ 6r^4& =& 96\\ r^4& =& \frac{96}{6}\\ r^4& =& 16\\ r& =& \sqrt[4]{16}\\ r& =& 2\end{array}$$
Panjang tali mula-mula adalah $=6+12+24+48+96=186$

Jumlah bilangan kelipatan 2 antara 100 dan 300 adalah ....
a. 14.751
b. 19.206

c. 19.800
d. 39.600

Jawaban :

Bilangan kelipatan 2 antara 100 dan 300 kita misalkan
$$S=102+104+106+\cdots +298$$
Berarti kita mencapatkan $a=102$ dan $b=2$. Mencari banyaknya suku dengan menggunakan cara berikut
$$\begin{array}{rcl}n-1& =& \frac{U_n-U_1}{b}\\ n-1& =& \frac{298-102}{2}\\ & =& \frac{196}{2}+1\\ & =& 98+1\\ n& =& 99\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}{S}_n& =& \frac{n}{2}(a+U_n)\\ & =& \frac{99}{2}(102+298)\\ & =& \frac{99}{2}\left(400\right)\\ S_n& =& 19.800\end{array}$$