Teorema Ceva Trigonometri

Pada kasus-kasus tertentu, teorema Ceva di atas lebih mudah digunakan dalam bentuk trigonometri berikut

(Teorema Ceva Trigonometri). Pada segitiga $ABC$, titik $D,E$ dan $F$ berturut-turut terletak pada sisi $BC,CA$ dan $AB$. Garis-garis $AD,BE,CF$ bertemu di satu titik (konkuren) jika dan hanya jika $$\begin{array}{r}\frac{\sin \mathrm{\angle }CAD}{\sin \mathrm{\angle }BAD}\cdot \frac{\sin \mathrm{\angle }ABE}{\sin \mathrm{\angle }CBE}\cdot \frac{\sin \mathrm{\angle }BCF}{\sin \mathrm{\angle }ACF}=1\end{array}$$

Akibat di atas dapat dibuktikan dengan mudah dengan menggunakan aturan sinus dan teorema Ceva atau secara langsung dengan menggunakan aturan sinus pada beberapa segitiga. Perhatikan Bukti Berikut ini

Bukti

Perhatikan gambar berikut !

Pada $\mathrm{△}CAD$ dan $\mathrm{△}BAD$ berdasarkan aturan sinus diperoleh

$$\begin{array}{r}\frac{DC}{\sin \mathrm{\angle }CAD}=\frac{AC}{\sin \mathrm{\angle }CDA}\text{dan}\frac{BD}{\sin \mathrm{\angle }BAD}=\frac{AB}{\sin \mathrm{\angle }BDA}\end{array}$$karena $\sin \mathrm{\angle }CDA=\sin \mathrm{\angle }BDA$ berakibat $$\frac{\sin \mathrm{\angle }CAD}{\sin \mathrm{\angle }BAD}=\frac{DC\cdot AB}{BD\cdot AC}$$ dengan cara yang sama dapat kita peroleh pula $$\frac{\sin \mathrm{\angle }ABE}{\sin \mathrm{\angle }CBE}=\frac{EA\cdot BC}{CE\cdot AB}$$ dan $$\frac{\sin \mathrm{\angle }BCF}{\sin \mathrm{\angle }ACF}=\frac{FB\cdot AC}{AF\cdot BC}$$

Oleh karena itu

$$\begin{array}{rcl}\frac{\sin \mathrm{\angle }CAD}{\sin \mathrm{\angle }BAD}\cdot \frac{\sin \mathrm{\angle }ABE}{\sin \mathrm{\angle }CBE}\cdot \frac{\sin \mathrm{\angle }BCF}{\sin \mathrm{\angle }ACF}& =& \frac{DC\cdot AB}{BD\cdot AC}\cdot \frac{EA\cdot BC}{CE\cdot AB}\cdot \frac{FB\cdot AC}{AF\cdot BC}\\ & =& \frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\end{array}$$

Jelas dari teorema Ceva yang pertama bahwa $$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1$$

Sekian penjelasan dari saya mengenai Teorema Ceva dan Ceva Trigonometri. Mari sama-sama Belajar