Teorema Ceva

Pada kesempatan kali ini saya ingin sekali membahas sebuah teorema dalam geometri Euclid yang sangat penting dalam memcahkan masalah bidang Geometri Euclid. Teorema tersebut adalah Teorema Ceva yang sudah sangat terkenal dalam Geometri.

Pembahasan geometri di mulai dengan segmen-segmen garis yang menghubungkan titik sudut suatu segitiga dengan sebuah titik yang terletak pada sisi di depan titik sudut tersebut. Segmen garis seperti itu disebut sebagai cevian (diambil dari nama Giovanni Ceva, seorang matematikawan Italia yang pertama kali menyinggung masalah konkurensi tiga buah cevian).

Teorema Ceva mengatakan :

Teorema Ceva. Misalkan $ABC$ sebuah segitiga dan $D,E,F$ tiga titik yang berturut-turut terletak pada sisi-sisi $BC,CA,AB$. Maka garis-garis $AD,BE,CF$ konkuren jika dan hanya jika $$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1$$

Bukti. Teorema di atas membutuhkan pembuktian ”dua arah”, yaitu: jika  $AD,BE,CF$ konkuren, maka kesamaan di atas berlaku dan jika kesamaan berlaku,
maka $AD,BE,CF$ konkuren.

Pertama,  kita buktikan dulu bahwa jika $AD,BE,CF$  konkuren maka kesamaan yang diberikan berlaku. Misalkan $P$ adalah titik perpotongan ketiga garis $AD,BE,CF$. Perhatikan dua identitas berikut:

$$\frac{BD}{DC}=\frac{[ABD]}{[ACD]}\text{dan}\frac{BD}{DC}=\frac{[PBD]}{[PCD]}$$

yang diperoleh dari fakta bahwa jika dua buah segitiga memiliki ”tinggi” yang sama, maka perbandingan luasnya sama dengan perbandingan ”alas”-nya. Dari dua identitas tersebut, kemudian kita peroleh

$$\frac{BD}{DC}=\frac{[ABD]-[PBD]}{[ACD]-[PCD]}=\frac{[APB]}{[CPA]}$$
Dengan cara yang sama, kita peroleh
$$\frac{CE}{EA}=\frac{[BPC]}{[APB]}\text{dan}\frac{AF}{FB}=\frac{[CPA]}{[BPC]}$$
jadi
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=\frac{[APB]}{[CPA]}\cdot \frac{[BPC]}{[APB]}\cdot \frac{[CPA]}{[BPC]}=1$$

Sekarang misalkan kesamaan di atas berlaku. Akan dibuktikan bahwa $AD,BE,CF$ berpotongan di satu titik. Untuk membuktikan hal ini, kita menggunakan teknik titik bayangan (phantom point). Perhatikan Gambar diatas bagian kedua sebelah kanan. Misalkan cevian $AD$ dan $BE$ berpotongan di titik $P^{\prime }$ dan garis $C{P}^{\prime }$ memotong sisi $AB$ di titik $F^{\prime }$. Kita cukup membuktikan bahwa $F^{\prime }=F$ , atau dengan kata lain, kedua titik tersebut berimpit. Untuk membuktikan hal ini, pertama perhatikan bahwa tiga cevian $AD,BE,C{F}^{\prime }$ konkuren (bertemu di titik $F^{\prime }$). Dengan demikian, kita punya

$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{A{F}^{\prime }}{F^{\prime }B}=1=\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}$$ Sehingga
$$\frac{A{F}^{\prime }}{F^{\prime }B}=\frac{AF}{FB}$$ Dari sini kita simpulkan $F=F^{\prime }$ dan selesailah pembuktian kita.

Kesimpulan

Pembuktian Teorema Ceva memang ada berbagai Versi dan tidak monoton harus seperti diatas. Namun masih ada cara-cara lain yang lebih Logis dan lebih mudah. Pembuktian yang lebih menarik dapat anda lihat di sini. Di Website tersebut disajikan pembuktian teorema Ceva dengan animasi yang cukup menarik.

Untuk Aplikasi teorema Ceva akan saya posting di postingan selanjutnya yah... Terima kasih atas perhatiannya

Baca juga : 

• Teorema Ceva Trigonometri
• Teorema Stewart
• Penerapan Teorema Stewart dalam Segitiga