Bilangan Prima dan Teorema Fundamental Aritmatika

Halo sobat blogger semuanya. Kali ini Blog matematika akan membahas tentang Bilangan Prima dan Teorema Fundamental Aritmatika. Sudah tau apa itu bilangan prima ? sudah tau apa itu Teorema Fundamental Aritmatika ? Kita bahas dalam postingan berikut.

Teori bilangan adalah bagian dari matematika yang membahas tentang bilangan. Lebih di khususkan pada bilangan prima dan komposit. Gauss Pernah mengatakan bahwa mathematic is the queen of science and the queen of mathematic is number theory.

Berangkat dari pernyataan Gauss ini tentunya saya mencoba akan lebih banyak membahas tentang teori bilangan. Teori bilangan ini juga di ambil sebagai bahan dalam olimpiade matematika tingkat SMP dan SMA. Nah Pembahasan mengenai Teorema Fundamental Aritmatika kita mulai dengan Bilangan Prima Terlebih dahulu.

Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan yang sudah kita kenal sekolah dasar, yaitu bilangan yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri, atau dengan kata lain bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat di bagi dengan 1 dan dirinya sendiri. Bilangan prima memegang peranan penting dalam matematika karena pada dasarnya konsep apapun yang dibahas dalam ilmu teori bilangan selalu berkaitan dengan bilangan prima.

Sebagai ilustrasi, jika ditanyakan banyak faktor positif dari 24 maka biasanya dilakukan dengan mendaftar semua faktor tersebut yaitu $1,2,3,4,6,8,12,24$ jadi ada $8$ buah. Untuk bilangan $60$ mempunyai sebanyak $12$ faktor positif.

Cara mendaftarkan satu per satu semua faktor seperti ini tidaklah efektif khususnya untuk bilangan yang besar. Coba perhatikan $24=2^3\cdot 3$ dan $60=2^2\cdot 3\cdot 5$. Dengan menambahkan 1 pada setiap pangkat prima, kemudian mengalikan mereka maka diperoleh banyaknya faktor prima. Untuk bilangan 24 terdapat $(3+1)\times (1+1)=8$ faktor, dan untuk 60 terdapat $(2+1)\times (1+1)\times (1+1)=12$ faktor.

Nah Bagaimana Jika kita diminta untuk menentukan suatu bilangan bahwa bilangan itu adalah bilangan prima atau bukan, bagaimana suatu bilangan bulat besar dapat dibagi oleh bilangan bulat lain, distribusi bilangan prima dalam $\mathbb{Z}$ semuanya akan dibahas pada postingan berikuti ini

Teorema Fundamental Aritmatika 

Definisi Bilangan Prima. Suatu bilangan bulat $p>1$ dikatakan prima jika faktor positifnya hanyalah $1$ dan $p$ (dirinya sendiri). Bilangan bulat lebih dari $1$ yang bukan prima disebut komposit.

Diantara 10 bilangan bulat pertama, bilangan-bilangan $2,3,5,7$ adalah prima, sedangkan $4,6,8,10$ adalah komposit. Berdasarkan definisi ini hanya ada satu bilangan prima yang genap yaitu 2. Bilangan $1$ bukan prima dan bukan komposit. Suatu bilangan $p$ adalah komposit jika ada bilangan bulat $a$ dan $b$ sehingga $p=ab$ di mana $0<a,b<p.$

Teorema. Jika $p$ prima dan $p|ab$ maka $p|a$ atau $p|b$.

Teorema ini menyatakan bahwa jika suatu bilangan prima $p$ membagi perkalian dua bilangan bulat maka $p$ pasti membagi salah satu diantara keduanya. Fakta ini dapat diperluas untuk bentuk perkalian beberapa bilangan bulat.

Pada awal postingan ini telah diilustrasikan bahwa suatu bilangan bulat dapat disajikan dalam bentuk perkalian bilangan-bilangan prima. Keadaan ini disajikan dalam bentuk Teorema Fundamental Aritmatika yang merupakan teorema penting dalam teori bilangan.

[Teorema Fundamental Aritmatika] Setiap bilangan bulat positif $n>1$ selalu dapat disajikan dalam bentuk perkalian bilangan-bilangan prima berpangkat. Representasi ini tunggal terhadap urutan faktor-faktornya, yaitu
$$n=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}.......p_k^{e_k}\ast$$dimana $p_1,p_2,.......p_k$ prima dan $e_1,e_2......,e_k$ eksponen bulat positif.

Bukti. Dibuktikan dengan menggunakan prinsip induksi kuat. Untuk $n=2$ pernyataan benar, yaitu dengan mengambil $p_1=2$ dan $e_1=1$. Asumsikan $n>2$ dan ekspresi (*) dipenuhi oleh setiap bilangan diantara 2 dan $n$, yaitu $$m=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}.......p_{km}^{e_{km}}$$ untuk setiap $m=3,4,\cdot \cdot \cdot ,n-1$. Sekarang untuk bilangan $n$. Bila $n$ prima maka tidak perlu dibuktikan lagi, karena ekspresi (*) terpenuhi secara otomatis.

Untuk $n$ komposit maka terdapat bilangan bulat $a$ dan $b$ sehingga $n=ab$ dimana $0<a,b<n$. Karena kedua $a$ dan $b$ kurang dari $n$ maka berdasarkan hipotesis, mereka dapat disajikan sebagai perkalian bilangan-bilangan prima, katakan $a=q_1^{e_1}{q}_2^{e_2}.......q_{ka}^{e_{ka}}$ dan $b=r_1^{e_1}{r}_2^{e_2}.......r_{kb}^{e_{kb}}$ di mana para $q_i$ dan $r_k$ prima. Dengan membuat urutan baru dengan cara mengelompokkan maka dapat disajikan $n=ab=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}.......p_k^{e_k}$. Selanjutnya ditunjukkan ketunggalan representasi (*). Andai kita mempunyai dua bentuk representasi berikut $$n=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}.......p_k^{e_k}=q_1^{f_1}{q}_2^{f_2}.....q_t^{f_t}\mathrm{\#}$$ Berlaku $p_1|n$. Berdasarkan Akibat (*), $p_1|q_j$ untuk suatu $J\in \{1,2,.....,t\}$ . Dengan cara menyusun kembali maka kita dapat menukar urutannya dengan $q_j$ diawal, katakan $q_j=q_1$ . Substitusi ke dalam persamaan (#) diperoleh$$p_1^{e_1-1}{p}_2^{e_2}.......p_k^{e_k}=q_1^{f_1-1}{q}_2^{f_2}.....q_t^{f_t}$$Karena $p_1$ dan $q_1$ keduanya prima dan $p_1|q_1$ makah aruslah $p_1=q_1$ sehingga $$p_1^{e_1-1}{p}_2^{e_2}.......p_k^{e_k}=q_1^{f_1-1}{q}_2^{f_2}.....q_t^{f_t}$$Faktor yang sama pada kedua ruas yaitu $p_1$ dapat dihilangkan dengan menggabungkan-nya pada salah satu ruas. Bila proses ini diteruskan dengan memasangkan faktor prima yang sama pada kedua ruas, kemudian melakukan kanselasi maka akan terjadi penghilangan faktor prima pada salah satu ruas. Bila ada salah satu ruas yang tidak habis faktor primanya maka akan terdapat bilangan 1 pada ruas lainnya sehingga 1 merupakan perkalian dari paling tidak dua bilangan prima $p_i$ atau $q_j$ . Dengan kata kata lain minimal ada 2 prima $p_i$ dan $q_j$ sehingga $p_i{q}_j=1$. Hal ini tidaklah mungkin (kontradikasi) karena $p_i$ dan $q_j$ keduanya lebih dari 1. Jadi faktor-faktor prima pada kedua ruas saling menghabiskan. Untuk itu, setelah penyusunan ulang haruslah $k=t,p_i=q_i$ dan $e_i=f_i$. Terbukti representasi (*) tunggal. $◼$

Contoh

Tentukan faktorisasi prima dari 24 dan 60. Gunakan hasil anda untuk menghitung banyaknya faktor positif yang ada. Temukan faktor-faktor prima tersebut.

Dengan mudah kita dapat menemukan faktorisasi untuk 24, yaitu $24=2^3\cdot 3$. Untuk menemukan semua faktor positifnya, diperhatikan tabulasi silang seperti diberikan pada Tabel berikut (kiri). Semua faktor yang dimaksud adalah $1,2,3,4,6,8,12,24$ yaitu ada 8 faktor. Kalau diperhatikan dengan seksama, besarnya pangkat pada faktorisasi prima menentukan banyak baris atau kolom pada tabulasi silang.

Dalam hal ini pangkat 3 pada faktor $2^3$ menghasilkan 4 kolom karena ditambahkan bilangan 1, sedangkan pangkat 1 pada $3^1=3$ menghasilkan 3 baris karena ditambahkan bilangan 1. Jadi banyak faktornya adalah $(3+1)\times (1+1)=8$.

Argumen yang sama diterapkan pada bilangan 60 yang mempunyai faktorisasi prima $2^2\cdot 3\cdot 5$. Bila diperhatikan Tabel 2.1 (kanan), kombinasi faktor $2^2$ dan 3 menghasilkan $(2+1)\times (1+1)=6$ buah faktor, yaitu $1,2,3,4,6,12$. Kontribusi faktor 5 berikutnya memberikan faktor secara total adalah sebanyak $(2+1)\times (1+1)\times (1+1)=12$
faktor, yaitu $1,2,3,4,6,12,5,10,15,20,30,60$. Tabulasi silang seperti ini dapat membantu untuk menemukan semua faktor positifnya.

Berdasarkan pembahasan pada contoh soal ini diperoleh hasil sebagai berikut.

Teorema. Bila $n=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}.......p_k^{e_k}$ dan $\prod \left(n\right)$ adalah banyak faktor positif dari $n$ maka$$\prod \left(n\right)=(e_1+1)\times (e_2+1)\times \cdots \times (e_k+1)$$
Contoh. 

Tentukan semua faktor prima dari $50!$, dan hitung banyak faktor-faktor positifnya.

Jawaban : 

Diperhatikan $50!=(50)(49)(48)\cdot \cdot \cdot (3)(2)(1)$. Jadi faktor-faktor primanya tidak lain adalah semua bilangan prima yang kurang dari 50, yaitu $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47$ (ada $15$ buah). Untuk menghitung semua faktor positifnya, terlebih dahulu sajikan bilangan $50!$ dalam bentuk faktorisasi prima.

Salah satu caranya adalah dengan membentuk faktorisasi prima untuk masing-masing faktor kompositnya, yaitu:

Jadi$$50!=2^{43}{3}^{20}{5}^{13}{7}^8{11}^4{13}^3{17}^2{19}^2{23}^2{29}^1{31}^1{37}^1{41}^1{43}^1{47}^1$$sehingga terdapat sebanyak $$(44)(21)(14)(9)(5)(4)(3)(3)(3)(2)(2)(2)(2)(2)(2)=4023613440$$ buah.

Referensi : diktat Kuliah Bpk Julan Hernadi

Baca Juga : 

• Bukti dan Penerapan Teorema Sisa Cina
• Teorema Sisa Cina