Pembahasan SNMPTN Bidang Matematika Dasar 2012 (Lanjutan)

Melanjutkan postingan saya yang lalu tentang pembahasan matematika dasar SNMPTN tahun 2012 baru 10 nomor dan masih tersisa 5 nomor lagi.  Makanya saya mau membahasnya lagi sekarang. Mari kita lihat bersama-sama.

11.  Jika gambar di bawah ini adalah grafik fungsi kuadrat $f$ dengan titik puncak $(-2,-1)$ dan melalui  titik $(0,-5)$, maka nilai $f(2)$ adalah ....

a. $-17$
b. $-18$
c. $-19$
d.  $-20$
e. $-21$
Jawaban : (a)

Pembahasan :

Karena titik puncak $P(-2,-1)$, maka$$-\frac{b}{2a}=-2\Rightarrow b=4a$$Grafik melalui titik $0,5)$ dan misalkan fungsi tersebut adalah $y=a{x}^2+bx+c$ maka $-5=a(0{)}^2+b(0)+c\Rightarrow c=-5$ Sehingga $y=a{x}^2+4ax-5$. Karena grafik melalui titik puncak $P(-2,-1)$ maka $-1=a(-2{)}^2+4a(-2)-5$, sehingga $-1=4a-8a-5\Rightarrow 4a=-4\Rightarrow a=-1$ Dan $b=4(-1)=-4$. Sehingga persamaannya adalah $y=-x^2-4x-5$. Sehingga kita peroleh $f(2)=-(2{)}^2-4\cdot 2-5=-17$

12. Nilai minimum fungsi objektif (tujuan) $f(x,y)=x+4y$ dengan kendala $3x+2y\ge 24,x\ge 2$, dan $y\ge 3$ adalah ....
a. 38
b. 26
c. 24
d. 18
e. 16
Jawaban : (d)

Pembahasan :
Perhatikan Gambar dibawah :

Jika anda perhatikan, maka titik-titik yang memenuhi adalah $(2,9)$ dan $(6,3)$. Kemudian kita lakukan uji titik pojok pada fungsi tujuan:
$f(2,9)=2+4(9)=38$
$f(6,3)=6+4(3)=18$
Sehingga nilai minimumnya adalah 18

13. Jika $a$ adalah suku pertama, $r$ adalah rasio, dan $S_n=3(2^{n+1}-2)$ adalah jumlah $n$ suku pertama deret geometri maka nilai $a+r$ adalah ....
a. 4
b. 5
c. 6
d. 7
e. 8
Jawaban : (e)

Pembahasan:
Mudah kita tunjukkan bahwa
$$\begin{array}{rcl}{S}_n& =& 3(2^{n+1}-2)\\ S_n& =& 3(2^n\cdot 2-2)\\ & =& 3\cdot 2(2^n-1)\\ & =& \frac{6(2^n-1)}{2-1}\end{array}$$Kita ingat kembali rumus deret geometri yaitu
$$S_n\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$Sehingga kita peroleh $a=6$ dan $r=2$. Maka $a+r=6+2=8$

14 Jika suatu persegi dengan panjang sisi satuan dibagi menjadi 5 persegi panjang dengan luas yang sama seperti ditunjukkan pada gambar, maka panjang ruas garis $AB$ adalah ....

a. ${\displaystyle \frac{4}{5}}$
b. ${\displaystyle \frac{3}{5}}$
c. ${\displaystyle \frac{5}{6}}$
d. ${\displaystyle \frac{2}{3}}$
e. ${\displaystyle \frac{2}{5}}$
Jawaban : (b)

Pembahasan:
Misalkan 2 persegi panjang horizontal atas memiliki ukuran $p\times q$, dan 3 persegi panjang vertikal bawah memiliki ukuran $x\times y$. Karena masing-masing persegi panjang memiliki luas yang sama maka luas masing-masing persegia panjang adalah ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ satuan luas. Dengan $y={\displaystyle \frac{1}{3}}$ (Karena membagi sisi persegi 3 sama panjang). Karena $xy={\displaystyle \frac{1}{5}}$ maka $x={\displaystyle \frac{3}{5}}$. Sehingga $AB=x={\displaystyle \frac{3}{5}}$

15 Semua nilai $x$ yang memenuhi $(2x+1)(x-1)\le (x-1)$ adalah ....
a. $x\le 1$
b. $x\ge 0$
c. $x\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}$
d. ${\displaystyle \frac{1}{2}}\le x\le 1$
e. $0\le x\le 1$
Jawaban : (e)

Pembahasan :
$$\begin{array}{rcl}(2x+1)(x-1)& \le & (x-1)\\ (2x+1)(x-1)-(x-1)& \le & 0\\ 2x^2-x-1-x+1& \le & 0\\ 2x^2-2x& \le & 0\\ 2x(x-1)& \le & 0\end{array}$$Kemudian lakukan pengujian pada garis bilangan kita mendapatkan $0\le x\le 1$