∫sec3⁡xdx=⋯

$$\int {\sec }^{3}xdx=\cdots$$
$\int {\sec }^{3}xdx=\int {\sec }^{2}x\sec xdx$

dengan menggunakan pengintegralan parsial di dapatkan :

$u=\sec x$

$du=\sec x\tan xdx$

$dv={\sec }^{2}xdx$

$v=\tan x$

$\int {\sec }^{3}xdx=\sec x\tan x-\int \tan x(\sec x\tan x)dx$

$\int {\sec }^{3}xdx=\sec x\tan x-\int {\tan }^{2}x\sec xdx$

$\int {\sec }^{3}xdx=\sec x\tan x-\int {\tan }^{2}x\sec xdx$

kita tahu bahwa ${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1$

$\int {\sec }^{3}xdx=\sec x\tan x-\int ({\sec }^{2}x-1)\sec xdx$

$\int {\sec }^{3}xdx=\sec x\tan x-\int ({\sec }^{3}x-\sec x)dx$

$\int {\sec }^{3}xdx=\sec x\tan x+\int \sec xdx-\int {\sec }^{3}x)dx$

karena $\int {\sec }^{3}xdx$ muncul di sebelah kanan. maka kita bisa manipulasi menjadi :

$\int {\sec }^{3}xdx+\int {\sec }^{2}xdx=\sec x\tan x+\int \sec xdx$

$2\int {\sec }^{2}xdx=\sec x\tan x+ln|\sec x+\tan x|$

sehingga diperoleh hasil integralnya adalah :

$\int {\sec }^{2}xdx=\frac{1}{2}(\sec x\tan x+ln|\sec x+\tan x|)+C$