Integral bentuk ∫0∞sin2⁡(x)x2

Coba nulis ulang neh, dah lama ga sempat nulis lagi di blog. Vakum neh kayaknya. Gimana mau naek Pagerank. Hehehehe :) Sekarang aku nyoba nulis integral tak wajar dari fungsi sinus. Begini neh soalnya :

Jika diketahui nilai dari ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (x)}{x}dx=\frac{1}{2}\pi }$, maka carilah nilai dari integral ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^2(x)}{x^2}dx}$ !

Neh aku nyoba jawab. Jawabannya Versi saya bgini neh : Kita tulis Fungsinya menjadi lebih umum yaitu :

${\displaystyle F(a)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^2(ax)}{x^2}dx}$ dengan $a\ge 0$. Kemudian kita turunkan fungsinya terhadap a sehingga menjadi:

${\displaystyle F^{\prime }(a)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2\sin (ax)\cos (ax)x}{x^2}dx}$

${\displaystyle F^{\prime }(a)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (2ax)}{x}dx}$

kemudian kita misalkan :

$y=2ax$

${\displaystyle dy=2adx}$

${\displaystyle dx=\frac{dy}{2a}}$

kita integralkan fungsi diatas, maka kita dapatkan ${\displaystyle x=\frac{y}{2a}}$. Sekarang mari kita lanjutkan memanipulasi fungsinya.

${\displaystyle F^{\prime }(a)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (y)}{\frac{y}{2a}}\frac{dy}{2a}}$

Sehingga kita dapatkan ${\displaystyle F^{\prime }(a)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (y)}{y}dy}$. Karena ${\displaystyle F^{\prime }(a)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (y)}{y}dy=\frac{\pi }{2}}$ maka ${\displaystyle \int F^{\prime }(a)=\int \frac{\pi }{2}da}$. maka diperoleh:

${\displaystyle F(a)=\frac{\pi }{2}a+C}$

Untuk $a=0$ maka $F(0)=C$ didapatkan $C=0$. Sehingga ${\displaystyle F(a)=\frac{\pi }{2}a}$

Sekarang untuk $a\ge 0$ katakanlah $a=1$ maka kita dapatkan ${\displaystyle F(a)=\frac{\pi }{2}}$.

Jadi, dapat kita simpulkan bahwa nilai dari ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^2(x)}{x^2}dx=\frac{\pi }{2}}$.

Kita juga dapat mengganti nilai $a$ sesuai dengan keinginan kita. Misalkan kita mengganti nilai $a=2$, maka kita akan mendapatkan hasil $F(a)=\pi$. Tidak percaya ? silahkan anda buktikan pake maple. hehehehehe

Sekian dulu postingannya yah. Jika ada pertanyaan, silahkan kirim komentar dibawah.....