Uji Keterbagian

Berdasarkan Teorema Fundamental Aritmatika kita selalu dapat menyajikan sebarang bilangan bulat dalam bentuk perkalian bilangan prima berpangkat. Permasalahannya adalah bagaimana cara efektif untuk menemukan semua faktor tersebut. Metoda coba-coba sangat tidak efektif terutama bilangannya besar. Untuk itu diperlukan cara untuk mendeteksi awal suatu bilangan bulat dapat terbagi oleh bilangan bulat lainnya.

Suatu bilangan bulat $n$ dalam bentuk desimal dan dalam basis 10 ditulis sebagai berikut
$$n=a_k{a}_{k-1}\cdots a_1{a}_0\iff n=a_k{10}^k+a_{k-1}{10}^{k-1}+\cdots +a_{1}10+a_0$$
Sebagai contoh $n=3457$ berarti $k=3$ dan $n=3\cdot {10}^3+4\cdot {10}^2+5\cdot {10}^1+7$.

Berikut beberapa proposisi untuk uji keterbagian.

Bilangan bulat $n$ habis terbagi $2$ jika dan hanya jika $a_0$ genap.

Bilangan bulat $n$ habis dibagi $3$ jika dan hanya jika jumlah angka-angka pembangunnya habis dibagi 3.

Bilangan 372 habis dibagi 3 sebab $3+7+2=12$ habis dibagi 3, tetapi bilangan 4561 tidak dapat dibagi 3 sebab $4+5+6+1=16$ tidak terbagi oleh 3

Bilangan bulat $n$ habis dibagi 4 jika dan hanya jika bilangan yang dibentuk oleh dua digit terakhirnya habis dibagi 4.

Bilangan 4567 tidak habis dibagi 4 sebab 67 tidak habis dibagi 4, sedangkan 34216 habis dibagi 4 sebab 16 habis dibagi 4.

Bilangan bulat $n$ habis dibagi 5 jika dan hanya jika angka terakhirnya 0 atau 5

Bilangan bulat $n$ habis dibagi 6 jika dan hanya jika jumlah angka-angka pembangunnya habis dibagi 3 dan angka terakhirnya $a_0$ genap.

Bilangan 6531 dan 47502 kedua habis dibagi 3 sebab jumlah angka-angkanya habis dibagi 3. Selanjutnya, 47502 habis dibagi 6 tetapi 6531 tidak habis dibagi 6.

Syarat cukup $n$ habis dibagi 7 adalah $M$ habis dibagi 7, dimana $M$ bilangan lebih kecil yang diperoleh dengan cara membuang angka terkahir $N$ kemudian menguranginya dengan 2 kali angka terakhir tersebut.

$n$ habis dibagi 8 jika dan hanya jika bilangan yang dibentuk oleh tiga digit terakhirnya habis dibagi 8.

Bilangan bulat $n$ habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah angka-angka pembangunnya habis dibagi 9.

Bilangan bulat $n$ habis dibagi 10 jika dan hanya jika angka terakhirnya 0

$n$ habis dibagi 11 bila hanya bila selisih antara jumlah angka pada urutan genap dan urutan ganjil habis dibagi 11.

Contoh.

Bilangan $23a23b$ habis dibagi 8 dan 9. Carilah bilangan yang dimaksud dan Tentukan nilai dari $a+b$

Jawab:

Sebelum kita mengerjakan soal diatas, terlebih dahulu kita mengingat kembali uji habis dibagi 8 dan uji habis dibagi 9

$n$ habis dibagi 8 jika dan hanya jika bilangan yang dibentuk oleh tiga digit terakhirnya habis dibagi 8

Bilangan bulat $n$ habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah angka-angka pembangunnya habis dibagi 9.

$23a23b$ habis dibagi 8 jika $23b$ habis dibagi 8. Sehingga nilai $b$ yang memenuhi adalah 2 karena $232$ habis dibagi 8.

Selanjutnya karena $b=2$ maka $23a23b$ menjadi $23a232$. Perhatikan bahwa pada uji habis di bagi 9 dikatakan bahwa bilangan habis dibagi 9 jika dan hanya jika angka pembangunnya habis dibagi 9.$2+3+a+2+3+2$ harus habis di bagi 9, $12+a$ sehingga satu-satunya nilai $a=6$ sehingga nilai $a$ yang memenuhi adalah 6.

Bilangan yang dimaksud adalah $236232$ dan nilai $a+b=6+2=8$