Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Berpusat di A(a,b)dan Jari-Jari r

Postingan kemarin saya sudah mencoba memposting materi Persamaan Garis Singgung Untuk Lingkaran yang Berpusat di $O(0,0)$ dan Jari-Jari $r$. Postingan kali ini sesuai dengan judulnya saya akan mencoba memposting materi Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Berpusat di $A(a,b)$ dan Jari-Jari $r$. Perhatikan gambar berikut !

Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Berpusat di $A(a,b)$ dan Jari-Jari $r$

Persamaan garis singgung $g$ pada lingkaran $L\equiv {(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2$ yang melalui titik singgung $P(x_1,y_1)$ dapat ditentukan sebagai berikut.

#  Gradien garis $AP$ adalah $m_{AP}={\displaystyle \frac{y_1-b}{x_1-a}}$

#  Gradien garis singgung $g$ tegak lurus $AP$, sehingga gradien garis singgung $g$ adalah
$$m_g=-\frac{1}{m_{AP}}=-\frac{x_1-a}{y_1-b}$$
Persamaan garis singgung $g$ adalah
$$\begin{array}{rcl}y-y_1& =& m_g(x-x_1)\\ y-y_1& =& -\frac{x_1-a}{y_1-b}(x-x_1)\\ (y-y_1)(y_1-b)& =& -(x_1-a)(x-x_1)\\ y_{1}y-y_1^2-by+b{y}_1& =& -(x_{1}x-ax-x_1^2+a{x}_1)\\ x_{1}x-ax-x_1^2+a{x}_1+y_{1}y-y_1^2-by+b{y}_1& =& 0\\ x_{1}x-ax+a{x}_1+y_{1}y-by+b{y}_1& =& x_1^2+y_1^2\end{array}$$
Karena $P(x_1,y_1)$ terletak pada lingkaran $L\equiv {(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2$, maka berlaku
\begin{eqnarray*}
\left(x_{1}-a\right)^{2}+\left(y_{1}-b\right)^{2} & = & r^{2}\
x_{1}^{2}-2ax_{1}+a^{2}+y_{1}^{2}-2by_{1}+b^{2} & = & r^{2}\
x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & = & 2ax_{1}-a^{2}+2by_{1}-b^{2}+r^{2}
\end{eqnarray*}
Sekarang kita substitusikan $x_1^2+y_1^2=2a{x}_1-a^2+2b{y}_1-b^2+r^2$ ke dalam persamaan diatas diperoleh
$$\begin{array}{rcl}{x}_{1}x-ax+a{x}_1+y_{1}y-by+b{y}_1& =& 2a{x}_1-a^2+2b{y}_1-b^2+r^2\\ (x_{1}x-ax+a{x}_1-2a{x}_1+a^2)+(y_{1}y-by+b{y}_1-2b{y}_1+b^2)& =& r^2\\ (x_{1}x-ax+-a{x}_1+a^2)+(y_{1}y-by-b{y}_1+b^2)& =& r^2\\ (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)& =& r^2\end{array}$$
Berdasarkan uraian panjang diatas, maka dapat disimpulkan bahwa persamaan garis singgung lingkaran $L\equiv {(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2$ yang melalui titik singgung $P(x_1,y_1)$ dapat ditentukan dengan rumus berikut. $$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$$

Untuk lebih memahami materi diatas simaklah contoh berikut.

CONTOH

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $L\equiv {(x-3)}^2+{(y+1)}^2=25$ yang melalui titik $(7,2)$

JAWAB

Titik $(7,2)$ maka $x_1=7$ dan $y_1=2$ terletak pada lingkaran $L\equiv {(x-3)}^2+{(y+1)}^2=25$. Sehingga persamaan garis singgungnya adalah
$$\begin{array}{rcl}(7-3)(x-3)+(2+1)(y+1)& =& 25\\ 4x-12+3y+3& =& 25\\ 4x+3y-34& =& 0\end{array}$$
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran $L\equiv {(x-3)}^2+{(y+1)}^2=25$ yang melalui titik $(7,2)$ adalah $4x+3y-34=0$}