Pembahasan Kompetensi Modul E Matematika SMK tentang Aljabar

Halo sobat blogger. kali ini saya akan coba memposting tentang pembahasan Kompetensi Modul E Matematika SMK tentang Aljabar. Mudah-mudahan saya bisa memposting semua pembahasan evaluasi modul matematika untuk SMK.

Soal-soal yang ada di modul tentunya pernah muncul di ujian kompetensi guru (UKG) tahun 2015 kemarin. Saya sendiri dari 10 modul hanya benar 6 modul. Mudah-mudahan kedepan bisa benar semua modulnya yah. Oke kita langsung saja yah

Pembahasan Kompetensi Modul E Matematika SMK tentang Aljabar

Pilihlah jawaban yang paling tepat diantara pilihan A, B, C, dan D

1.   Misalkan banyaknya penduduk suatu desa pada tahun 2006 sebanyak 24 orang, pada tahun 2008 sebanyak 96 orang dan seterusnya mengikuti barisan geometri, maka banyaknya penduduk pada tahun 2011 adalah ...

a. 384
b. 768
c. 1536
d. 1368

Jawaban : B
Dari keterangan soal kita dapatkan

#  $U_1=24$
#  $U_3=96$

Mencari
$$\begin{array}{rcl}{U}_2& =& \sqrt{U_1\times U_3}\\ & =& \sqrt{24\times 96}\\ & =& \sqrt{2.304}\\ U_2& =& 48\end{array}$$
Kita sudah dapatkan $U_2$ nah sekarang kita cari nilai $r$ dengan cara
$$\begin{array}{rcl}r& =& \frac{U_2}{U_1}\\ & =& \frac{48}{24}\\ r& =& 2\end{array}$$
Kita sudah dapatkan $r=2$ dan $a=24$ nah jika kita mencari banyaknya penduduk di tahun 2011 maka sama saja kita mencari nilai $U_6$. Yuk kita cari
$$\begin{array}{rcl}{U}_6& =& a{r}^{n-1}\\ & =& 24\cdot 2^{6-1}\\ & =& 24\cdot 2^5\\ & =& 24\cdot 32\\ U_6& =& 768\end{array}$$banyaknya penduduk pada tahun 2011 adalah 768 orang

2.  Sebuah benda bergerak mulai dari keadaan diam dan melintasi 3 dm pada detik pertama, 5 dm pada detik kedua, 7 dm pada detik ketiga dan seterusnya. Panjangnya lintasan yang ditempuh benda tersebut setelah 10 detik adalah ...

a. 90 dm
b. 100 dm
c. 110 dm
d. 120 dm

Jawaban : D

Dari keterangan soal kita dapatkan informasi sebagai berikut

# $U_1=3$ dm
# $U_2=5$ dm
# $U_3=7$ dm
# $b=2$

Jika kita mencari panjang lintasan yang ditempuh benda setelah 10 detik maka kita sama saja dengan mencari nilai $S_{10}$. Nah sekarang kita cari dulu $U_{10}$ biar gampang nanti mencari nilai $S_{10}$

$$\begin{array}{rcl}{U}_{10}& =& a+9b\\ & =& 3+9\left(2\right)\\ & =& 3+18\\ U_{10}& =& 21\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}{S}_{10}& =& \frac{10}{2}(3+21)\\ & =& 5\left(24\right)\\ S_{10}& =& 120\end{array}$$
Panjangnya lintasan yang ditempuh benda tersebut setelah 10 detik adalah 120 dm

3.  ${\displaystyle \sum _{k=2}^7(2k^2-3)=\sum _{k=2}^7}2k^2-{\displaystyle \sum _{k-=2}^{7}3=.......}$
a. 287 -81
b. 278 -18
c. 278 - 81
d. 287 - 18

Jawaban : B

Soal yang cukup membosankan sebenarnya. hehehe. Tapi kita hajar saja yuk. Sebelumnya kita ingat kembali teori tentang notasi sigma yang sudah kita lewati.

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}c=c(n-m+1)}$
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)}$
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^3={\left(\frac{1}{2}n(n+1)\right)}^2}$

$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \sum _{k=2}^7(2k^2-3)}& =& \sum _{k=2}^{7}2k^2-{\displaystyle \sum _{k=2}^{7}3}\\ & =& 2\sum _{k=1}^6{(k+1)}^2-{\displaystyle \sum _{k=2}^{7}3}\\ & =& 2(\sum _{k=1}^6{k}^2+2\sum _{k=1}^{6}k+\sum _{k=1}^{6}1)-{\displaystyle \sum _{k=2}^{7}3}\\ & =& 2(\frac{6\left(7\right)\left(13\right)}{6}+2\left(\frac{6\left(7\right)}{2}\right)+6)-3(7-2+1)\\ & =& 2(91+42+6)-3\left(6\right)\\ & =& 2\left(139\right)-18\\ {\displaystyle \sum _{k=2}^7(2k^2-3)}& =& 278-18\end{array}$$

4. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan mutlak $|2x-7|-|-1|...$
a. $\{x|x\ge 0\}$
b. $\{x|x\le 0\}$
c. $\{x|x\in \mathbb{R}\}$
d. $\mathrm{\varnothing }$

Jawaban :

Masih bingung membaca soal ini. Antara belum lengkap sih kayaknya. Soalnya ditanyakan dalam soal adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan mutlak sementara tanda pertidaksamaan dalam soal tidak ada. Mungkin dari teman-teman bisa membantu.

5.  Dalam suatu ruang pertemuan terdapat 20 kursi pada baris pertama dan setiap berikutnya memuat dua kursi lebih banyak dari kursi pada baris di depannya. Jika dalam ruang pertemuan tersebut terdapat 10 baris kursi, maka berapa banyak orang yang dapat duduk di kursi dalam aula?

a. 310 orang
b. 300 orang
c. 290 orang
d. 280 orang

Jawaban : C

Diketahui $U_1=a=20$, $b=2$ banyak orang yang dapat duduk di kursi dalam aula Jika dalam ruang pertemuan tersebut terdapat 10 baris kursi adalah

$$\begin{array}{rcl}{U}_{10}& =& a+9b\\ & =& 20+9\left(2\right)\\ & =& 20+18\\ U_{10}& =& 38\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}{S}_{10}& =& \frac{10}{2}(a+U_{10})\\ & =& 5(20+38)\\ & =& 5\left(58\right)\\ S_{10}& =& 290\end{array}$$banyak orang yang dapat duduk di kursi dalam aula adalah 290 orang.

6.  Besarnya penerimaan PT Kencana dari hasil penjualan barangnya Rp. 720 juta pada tahun kelima dan Rp. 980 juta pada tahun ke tujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung berapa perkembangan penerimaannya pertahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460 Juta?

a. Ke tiga
b. Ke empat
c. Ke lima
d. Ke enam

Jawaban : A

Setelah kita baca soal diatas langsung kita tahu bahwa soal diatas adalah aplikasi dari deret aritmatika. Ayok kita bahas

# $U_5=720=a+4b$
# $U_7=980=a+6b$

Sekarang kita coba eliminasi 2 persamaan diatas

$a+4b=720$
$a+6b=980$
------------------   -
$-2b=-260$
$b={\displaystyle \frac{-260}{-2}}$
$b=130$

Nilai $b=130$ maka kita substitusikan ke persamaan $a+4b=720$
$$\begin{array}{rcl}a+4b& =& 720\\ a+4\left(130\right)& =& 720\\ a+520& =& 720\\ a& =& 720-520\\ a& =& 200\end{array}$$
pada tahun ke berapa penerimaannya sebesar Rp. 460 Juta dapat kitacari  dengan cara
$$\begin{array}{rcl}{U}_n& =& a+(n-1)b\\ 460& =& 200+(n-1)130\\ 460& =& 200+130n-130\\ 460& =& 70+130n\\ 130n& =& 460-70\\ 130n& =& 390\\ n& =& \frac{390}{130}\\ n& =& 3\end{array}$$Kita jawab semua pertanyaan dalam soal yah

#  perkembangan penerimaannya pertahun adalah Rp $130$ juta
#  besar penerimaan pada tahun pertama adalah Rp 200 juta
#  pada tahun ke tiga penerimaannya sebesar Rp. 460 Juta

7.  Anita sedang bermain ayunan di halaman belakang rumahnya. Dia mengayunkan ayunan tersebut dengan menggunakan tangan dan tubuhnya agar ayunan tersebut berayun sampai ketinggian maksimum, kemudian membiarkannya sampai ayunan yang dia tumpangi berhenti dengan sendirinya. Dalam setiap ayunan, Anita menempuh $75\mathrm{\%}$ dari panjang ayunan sebelumnya. Jika panjang busur pertama (atau ayunan pertama) 2 meter, tentukan panjang busur yang ditempuh Anita pada ayunan ke$-8$. Berapa meterkah total panjang busur yang ditempuh Anita sebelum dia berhenti berayun?

a. 5 m
b. 6 m
c. 7 m
d. 8 m

Jawaban : D

Diketahui panjang busur pertama yang ditempuh Anita adalah 2 meter, sehingga kita peroleh $a_1=2$. Sedangkan dalam setiap ayunannya dia menempuh $75\mathrm{\%}$ dari panjang lintasan sebelumnya. Sehingga $r=75\mathrm{\%}=0,75$. Untuk menentukan panjang ayunan ke$-8$, kita tentukan $a_8$ dari barisan tersebut.

$$\begin{array}{rcl}{a}_n& =& a_1{r}^{n-1}\\ & =& 2\times {(0,75)}^{8-1}\\ & =& 2\times {(0,75)}^7\\ & =& 2\times 0,13348388671875\\ & =& 0,2669677734375\\ & \approx & 0,27\end{array}$$

Sehingga, panjang ayunan Anita yang ke$-8$ adalah $0,27$ meter atau 27 cm. Selanjutnya kita tentukan panjang lintasan yang ditempuh oleh Anita sebelum dia berhenti berayun. Untuk menentukan panjang lintasan ini, kita cari jumlah deret tak hingga dari barisan tersebut.

$$\begin{array}{rcl}{S}_{\mathrm{\infty }}& =& \frac{a}{1-r}\\ & =& \frac{2}{1-0,75}\\ & =& \frac{2}{0,25}\\ & =& 8\end{array}$$Jadi panjang lintasan yang telah ditempuh oleh Anita sampai dia berhenti berayun adalah 8 meter.

8.  Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian $2$ m. Setiap memantul dari lantai, bola mecapai ketinggian ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ dari ketinggian sebelumnya. Berapakah panjang lintasan yang dilalui bola hingga berhenti?

a. 13 m
b. 14 m
c. 15 m
d. 17 m

Jawaban : B

Alternatif 1

Perhatikan gambar berikut !

Mencari panjang Lintasan seluruhnya adalah
$$\text{Panjang Lintasan}=\text{awal}+L_{\text{naik}}+L_{\text{turun}}$$
Karena ternyata Lintasan Naik sama dengan Lintasan Turun, maka
$$\text{Panjang Lintasan}=\text{awal}+2\times L_{\text{naik}}$$
Nah. Sekarang kita cari Panjang Lintasan Naik dengan cara memanfaatkan deret geometri tak hingga.
$$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{a}{1-r}$$
Mencari nilai $a$ didapat dengan cara :

Karena nilai Awal $=2$ dan $r={\displaystyle \frac{3}{4}}$ maka nilai $a$ didapat dari perkalian nilai awal dan $r$ sehingga $a=2\times {\displaystyle \frac{3}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}}$. Diperoleh nilai $a={\displaystyle \frac{3}{2}}$.
$$\begin{array}{rcl}{S}_{\mathrm{\infty }}& =& \frac{a}{1-r}\\ & =& \frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{3}{4}}\\ & =& \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{3}{2}\times \frac{4}{1}\\ & =& \frac{12}{2}\\ S_{\mathrm{\infty }}& =& 6\end{array}$$

Nah sekarang kita cari panjang semua lintasannya
$$\begin{array}{rcl}\text{Panjang Lintasan}& =& \text{awal}+2\times L_{\text{naik}}\\ & =& 2+2\left(6\right)\\ & =& 2+12\\ \text{Panjang Lintasan}& =& 14\end{array}$$
panjang lintasan yang dilalui bola hingga berhenti adalah 14 m



Alternatif 2



Mencari panjang lintasan bola bisa kita gunakan rumus berikut
$$L=\text{awal}\times \left(\frac{n+m}{n-m}\right)$$
dengan $r={\displaystyle \frac{m}{n}}$. Mari kita coba.
Nilai awal $=$ 2 dan $r={\displaystyle \frac{3}{4}}$ tentunya kita punya $m=3$ dan $n=4$ sekarang kita masukkan kedalam rumus
$$\begin{array}{rcl}L& =& \text{awal}\times \left(\frac{n+m}{n-m}\right)\\ & =& 2\times \left(\frac{4+3}{4-3}\right)\\ & =& 2\times \left(\frac{7}{1}\right)\\ & =& 14\end{array}$$
panjang lintasan yang dilalui bola hingga berhenti adalah 14 m

9. Diketahui ${\displaystyle \sum _{k=5}^{25}(2-pk)=0}$ maka nilai dari ${\displaystyle \sum _{k=5}^{25}pk}$ adalah ....
a. 42
b. 43
c. 44
d. 45

Jawaban : A

$$\begin{array}{rcl}\sum _{k=5}^{25}(2-pk)& =& 0\\ \sum _{k=5}^{25}2& =& \sum _{k=5}^{25}pk\end{array}$$
Sehingga mencari nilai ${\displaystyle \sum _{k=5}^{25}pk}$ sama saja artinya dengan mencari nilai ${\displaystyle \sum _{k=5}^{25}2}$
$$\begin{array}{rcl}\sum _{k=5}^{25}pk& =& \sum _{k=5}^{25}2\\ & =& 2(25-5+1)\\ & =& 2\left(21\right)\\ \sum _{k=5}^{25}pk& =& 42\end{array}$$
nilai dari ${\displaystyle \sum _{k=5}^{25}pk}$ adalah $42$

10. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut hanya dapat menampung 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki adalah Rp 10.000,00 dan keuntungan setiap pasang sepatu wanita adalah Rp 5.000,00. Jika banyaknya sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, maka tentukanlah keuntungan terbesar yang dapat diperoleh oleh pemilik toko.

a. Rp 2.750.000,00.
b. Rp 2.755.000,00.
c. Rp 2.760.000,00.
d. Rp 2.765.000,00.

Jawaban : A

Dari keterangan soal kita dapat memisalkan $x=$ Sepatu Laki-Laki dan $y=$ Sepatu Perempuan
$$\{\begin{array}{ll}x& \ge 100\\ y& \ge 150\\ x+y& \le 400\\ x& \le 150\end{array}$$
Dengan fungsi tujuan $Z=10.000x+5.000y$ . Selanjutnya perhatikan gambar sederhana berikut

Setelah kita sketsakan fungsi kendala kedalam fungsi tujuan maka kita dapatkan daerah penyelesaian adalah daerah yang diarsir pada grafik diatas yang dibatasi oleh titik $A,B,C,$ dan $D$. Sekarang tugas kita adalah tinggal memasukkan nilai-nilai titik pojok $A,B,C,D$  kedalam fungsi tujuan.

Dari Perhitungan diatas terlihat bahwa keuntungan terbesar yang dapat diperoleh oleh pemilik toko adalah Rp 2.750.000,-

11. Seorang bayi lahir prematur di sebuah rumah sakit dengan berat badan 2.200 gram. Untuk mengatur suhu tubuh bayi tetap stabil, maka harus dimasukkan ke dalam inkubator selama beberapa hari. Suhu inkubator harus dipertahankan berkisar ${32}^{o}C$ hingga ${35}^{o}C$ selama 2 hari. Ternyata jika berat badan bayi berada pada interval $2.100-2.500$ gram, maka suhu inkubator yang harus dipertahankan adalah ${34}^{o}C$. Jika pengaruh suhu ruangan membuat suhu inkubator menyimpang sebesar $0,2^{o}C$ maka hitunglah interval perbedaan suhu inkubator.

a. $\{T|32,8^{\circ }C\le T\le 34,2^{\circ }C\}$
b. $\{T|32,8^{\circ }C\le T\le 35,2^{\circ }C\}$
c. $\{T|33,8^{\circ }C\le T\le 35,2^{\circ }C\}$
d. $\{T|33,8^{\circ }C\le T\le 34,2^{\circ }C\}$

Jawaban : D

Soal ini sudah di bahas di buku matematika kelas X SMA/SMK Kurikulum 2013. Soal ini adalah terapan dari pertidaksamaan nilai mutlak. Berikut pembahasannya

Pada kasus bayi ini, kita sudah mendapatkan data dan suhu inkubator yang harus dipertahankan selama $1-2$ hari semenjak kelahiran adalah ${34}^{\circ }C$. Misalkan $T$ adalah segala kemungkinan perubahan suhu inkubator akibat pengaruh suhu ruangan, dengan perubahan yang diharapkan sebesar $0,2^{\circ }C$, maka nilai mutlak suhu tersebut dapat kita modelkan, sebagai berikut:$|T-{34}^{\circ }C|\le 0,2^{\circ }C$.

Kasus ini dapat kita selesaikan melalui cara berikut. Perhatikan kembali definisi nilai mutlak yaitu $|x-a|\le b$ maka $-b\le x-a\le b$. Sekarang kita selesaikan masalah diatas

$$\begin{array}{rcl}& |T-{34}^{\circ }C|& \le 0,2^{\circ }C\\ -0,2^{\circ }C\le & T-{34}^{\circ }C& \le 0,2^{\circ }C\\ -0,2+34\le & T& \le 0,2+34\\ 33,8\le & T& \le 34,2\end{array}$$
sehingga interval kenaikan suhu inkubator adalah interval $\{T|33,8^{\circ }C\le T\le 34,2^{\circ }C\}$

12. Seorang desainer logo diminta mendesain persegi panjang atau persegi untuk background logo menggunakan pembatas sepanjang 200 mm. Berapa luas segi empat maksimum yang dapat dirancang desainer tersebut untuk dapat memenuhi permintaan klien?

a. 24.500 mm
b. 24.000 mm
c. 25.000 mm
d. 25.500 mm

Jawaban : C

Perhitungan ini dapat dilakukan dengan menggunakan menggunakan rumus persegi yaitu
L = panjang x lebar. Panjang dilambangkan dengan $x$ dan lebar dilambangkan dengan $y$.
$$L=xy$$
Karena panjang border 200 mm, maka luas keliling dari segi empat tersebut adalah 200 mm.

Menggunakan rumus keliling = 2 (panjang x lebar) , kita dapat menyusun persamaan menjadi
$$2(x+y)=200$$
$$y=100-x$$
Persamaan $y$ yang diperoleh dari rumus keliling kemudian dimasukkan dalam persamaan menghitung luas wilayah sehingga membuat persamaan sebelumnya menjadi
$$L=x(100-x)=100x-x^2$$
Perhitungan luas diatas serupa dengan bentuk fungsi kuadrat. Untuk menghitung luas maksimum, kita dapat mencari titik puncak seperti di fungsi kuadrat sehingga membuat perhitungan menjadi.
$$L^{\prime }=0=100-2x$$
Dari perhitungan diatas, kita memperoleh bahwa $x$ maksimum berada pada panjang 50 mm. Dengan mensubtitusikan nilai $x=50$, maka luas maksimum dari logo tersebut akan menjadi:
$L=50(100–50)$
$L=50\times 50=25.000$ mm${}^2$

13. Suatu bank di Amerika menawarkan harga tukar Dollar Amerika (USD) ke Ringgit Malaysia (MYR), yaitu I USD = 3,28 MYR, dengan biaya penukaran 2 USD untuk setiap transaksi penukaran. Kemudian salah satu bank di Malaysia menawarkan harga tukar Ringgit Malaysia (MYR) ke Rupiah (IDR), yaitu 1 MYR = rp 3.169,54, dengan biaya penukaran sebesar 3 MYR untuk setiap transaksi penukaran. Seorang turis asal Amerika ingin bertamasya ke Malaysia kemudian melanjukan ke Indonesiadengan membawa uang sebesar 2.000 USD. Berapa IDR akan diterima turis tersebut jika pertama dia menukarkan semua uangnya ke mata uang ringgit malaysia di amerika dan kemudian menukarkan ke Rupiah Indonesia di Malaysia?

a. 6500,44 MYR dan 20.761.800,6 IDR
b. 6540,44 MYR dan 20.761.880,6 IDR
c. 6550,44 MYR dan 20.761.881,6 IDR
d. 6560,44 MYR dan 20.761.882,6 IDR

Jawaban : C

Soal ini sudah di bahas di buku matematika kelas XI SMA/SMK Kurikulum 2013. Soal ini adalah terapan dari fungsi komposisi. Berikut pembahasannya

Masalah ini dapat diselesaikan dua tahap penukaran.

Langkah 1:

Uang sebesar 2.000 USD akan ditukar ke Ringgit Malaysia di Amerika dengan biaya penukaran sebesar 2 USD, maka jumlah uang yang diterima turis tersebut adalah:

$$\begin{array}{rcl}(2.000-2)\times 3,28MYR& =& 1.998\times 3,28MYR=6.553,44MYR\end{array}$$

Langkah 2:

Uang sebesar 6.553,44 MYR akan ditukar ke mata uang Rupiah Indonesia, dan perlu di ingat bahwa biaya penukaran sebesar 3 MYR. Uang yang diterima turis tersebut adalah:

$$(6.553,44-3)\times 3.169,54=6.550,44\times 3.169,54=20.761.881,60$$

IDR Turis tersebut menerima uang rupiah Indonesia sebesar  $20.761.881,60$ IDR.

Perhitungan kedua transaksi di atas dapat kita buat model matematikanya ke dalam dua fungsi sebagai berikut.

Misalkan : $t=$ jumlah uang dalam USD

#  $x=$ jumlah uang dalam MYR
#  $y=$ jumlah uang dalam IDR Transaksi penukaran pertama dapat kita tuliskan dengan

$$x=3,28(t-2)x=3,28t-6,56$$

karena $x$ merupakan sebuah fungsi $t$, maka dapat ditulis:

$$x(t)=3,28t-6,56$$

Untuk transaksi penukaran kedua dapat ditulis sebagai berikut.

$$y=3.169,54(x-3)y=3.169,54x-9.508,62$$

karena $y$ fungsi dari $x$, maka dapat ditulis

$$y(x)=3.169,54x-9.508,62$$

Dengan mensubstitusi persamaan 1 ke persamaan 2 kita peroleh: $y(x)=y(x(t)),$ misal $f(t)=y(x(t)),$ maka

$$\begin{array}{rcl}f\left(t\right)& =& y(x(t))\\ f\left(t\right)& =& 3.169,54(3,28t-6,56)-9.508,62\\ & =& 10.396,09t-20792.18-9.508,62\\ f\left(t\right)& =& 10.396,09t-30.300,80\end{array}$$

Fungsi $f(t)=y(x(t))$ ini merupakan fungsi komposisi $x$ dan $y$ dalam $t$ yang dilambangkan dengan $(y\circ x)(t)$ dan didefinisikan dengan $(y\circ x)(t)=y(x(t))$

Maka fungsi komposisi $x$ dan $y$ pada masalah di atas adalah

$$(y\circ x)(t)=10.396,09t-30.300,80$$

Dengan menggunakan fungsi komposisi $(y\circ x)(t)$ seperti pada persamaan 3, maka dapat kita hitung jumlah uang turis tersebut dalam mata uang rupiah Indonesia untuk $t=2000USD$ seperti berikut.

$$\begin{array}{rcl}(y\circ x)(t)& =& 10.396,09t-30.300,80\\ & =& 10.396,09\times (2.000)-30.300,80\\ & =& 20.792.180-30.300,80\\ & =& 20.761.881,60\end{array}$$

Jumlah uang turis tersebut dalam rupiah adalah Rp 20.761.881,60 Perhatikan bahwa hasilnya sama dengan langkah pertama yang kita lakukan.

14. Tentukan besarnya uang yang ditabungkan di Bank dengan bunga majemuk $20\mathrm{\%}$ pertahun agar dalam waktu 10 tahun uang itu menjadi Rp. 10.000.000,00.

a. 1.615.055
b. 1.615.555

c. 1.615.655
d. 1.615.656

Jawaban : A

Diketahui:

# $M_n=10.000.000$
# $r=20\mathrm{\%}=0,2$
# $n=10$

$$\begin{array}{rcl}{M}_n& =& M_0{(1+r\mathrm{\%})}^n\\ 10.000.000& =& M_0{(1+0,2)}^{10}\\ 10.000.000& =& M_0{(1,2)}^{10}\\ 10.000.000& =& M_0\cdot (6,19174)\\ M_0& =& \frac{10.000.000}{6,19174}\\ M_0& =& 1.615.055\end{array}$$

besarnya uang yang ditabungkan di Bank agar dalam waktu 10 tahun uang itu menjadi Rp. 10.000.000,00 adalah Rp $1.615.055,-$

15. Untuk setiap meter di bawah permukaan air laut, misalkan intensitas cahayanya berkurang $5\mathrm{\%}$. Jika intensitas cahayanya tinggal $40\mathrm{\%}$ dari intensitas cahaya di permukaan, maka kedalaman di lautnya adalah...

a. $17,86$ meter
b. $17,68$ meter
c. $18,76$ meter
d. $18,67$ meter

Jawaban : A

Misalkan intensitas suatu cahaya untuk setiap meternya di bawah permukaan air laut berkurang $5\mathrm{\%}$. Jadi persentase cahaya di permukaan yang menembus ke dalam laut dapat kita tulis sebagai fungsi dari kedalaman $k$ dengan satuan meter, intensitas cahaya berkurang $I$, maka persentase cahaya $P$ di permukaan yang menembus kedalaman dapat kita tulis dalam bentuk :

$$\begin{array}{rcl}P& =& 100{(1-I)}^k\\ P& =& 100{(1-0,05)}^k\end{array}$$

Sehingga

$$\begin{array}{rcl}40& =& 100{(0,95)}^k\\ {(0,95)}^k& =& \frac{40}{100}\\ {(0,95)}^k& =& 0,4\\ \log {(0,95)}^k& =& \log 0,4\\ k\cdot \log (0,95)& =& \log 0,4\\ k& =& \frac{\log 0,4}{\log (0,95)}\\ & =& \frac{-0,39794}{-0,022276}\\ k& =& 17,864\end{array}$$

Diperoleh kedalaman laut adalah $17,864$ meter

16. Misalkan Anda menyimpan uang di Bank sebesar Rp. 500.000,00 dengan tingkat suku bunga majemuk $12\mathrm{\%}$ per tahun. Lamanya waktu yang diperlukan supaya uang simpanan Anda di Bank menjadi dua kali lipat ...

a. $3,1$ tahun
b. $4,1$ tahun
c. $5,1$ tahun
d. $6,1$ tahun

Jawaban : D

Diketahui

# $M_0=500.000,00$
# $M_n=1.000.000,00$
# $r=12\mathrm{\%}=0,12$

$$\begin{array}{rcl}{M}_n& =& M_0{(1+r\mathrm{\%})}^n\\ 1.000.000& =& 500.000{(1+0,12)}^n\\ 1.000.000& =& 500.000{(1,12)}^n\\ {(1,12)}^n& =& \frac{1.000.000}{500.000}\\ {(1,12)}^n& =& 2\\ \log {(1,12)}^n& =& \log 2\\ n\times \log (1,12)& =& \log 2\\ n& =& \frac{\log 2}{\log 1,12}\\ n& =& \frac{0,301}{0,049218}\\ n& =& 6,11\end{array}$$
Lamanya waktu yang diperlukan supaya uang simpanan Anda di Bank menjadi dua kali lipat adalah $6,1$ tahun

17. Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini.

Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah ...

a. $f\left(x\right)=3^x$
b. $f\left(x\right)=3^{x+1}$
c. $f\left(x\right)=3^{x-1}$
e. $f\left(x\right)=3^x+1$

Jawaban : D

Menjawab soal begini tentunya sangat mudah saja. Kita lihat gambar grafik diatas dan coba kita uraikan satu persatu

# Jika nilai $x=0$ maka nilai $y=2$
# Jika nilai $x=1$ maka nilai $y=4$
# Jika nilai $x=2$ maka nilai $y=10$

Coba kita tes satu persatu pada pilihan ganda dan ternyata yang memenuhi adalah option bagian D yaitu $f\left(x\right)=3^x+1$

18. Bila $\alpha ={45}^{\circ }$ dan proses penarikan garis tegak lurus pada kaki-kaki sudut diteruskan, maka jumlah panjang garis $T_1{T}_2+T_2{T}_3+T_3{T}_4+......$ adalah ...

a. $a(2-\sqrt{2})$
b. $a(-2-\sqrt{2})$
c. $a(-2+\sqrt{2})$
d. $a(2+\sqrt{2})$

Jawaban : D

Perhatikan, jika segitiga siku-siku salah satu sudutnya ${45}^{\circ }$ maka bisa dipastikan segitiga sama kaki artinya segitiga dengan panjang dua sisi yang saling tegak lurus adalah sama. Nah berangkat dari situ kita misalkan panjang $T_1{T}_2=a$ begitu juga untuk $T_{2}P=a$.

Sekarang perhatikan segitiga $\mathrm{△}{T}_1{T}_2{T}_3$. Karena panjang $T_1{T}_2=a$ maka dipastikan nilai $T_2{T}_3={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{2}}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}$ begitu juga untuk panjang $T_1{T}_3={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}$

Sekarang perhatikan segitiga $\mathrm{△}{T}_2{T}_3{T}_4$. Karena panjang $T_2{T}_3={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}$ maka panjang $T_3{T}_4={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{a}{2}}$ dan seterusnya sehingga menghasilkan deret tak hingga. Nilai

$$\begin{array}{rcl}{T}_1{T}_2+T_2{T}_3+T_3{T}_4+.....& =& a+\frac{a\sqrt{2}}{2}+\frac{a}{2}+.........\\ S_{\mathrm{\infty }}& =& \frac{a}{1-r}\\ & =& \frac{a}{1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}\\ & =& \frac{2a}{2-\sqrt{2}}\times \left(\frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\right)\\ & =& \frac{2a(2+\sqrt{2})}{4-2}\\ & =& \frac{2a(2+\sqrt{2})}{2}\\ & =& a(2+\sqrt{2})\end{array}$$
jumlah panjang garis $T_1{T}_2+T_2{T}_3+T_3{T}_4+......$ adalah $a(2+\sqrt{2})$

19. Banyaknya suku dan jumlah bilangan bulat di antara 100 dan 1000 yang merupakan kelipatan tujuh berturut-turut adalah

a. 128 dan 70.336
b. 218 dan 73306
c. 182 dan 70368
d. 812 dan 7336

Jawaban : A
Bilangan bulat antara 100 dan 1000 yang habis di bagi 7 adalah sebagai berikut
$$105+112+119+.........+994$$
Nilai $a=105$, $b=7$ dan $U_n=994$ Maka nilai $n$ dicari dengan
$$\begin{array}{rcl}{U}_n& =& a+(n-1)b\\ 994& =& 105+(n-1)7\\ 994& =& 105+7n-7\\ 994& =& 98+7n\\ 7n& =& 994-98\\ 7n& =& 896\\ n& =& \frac{896}{7}\\ n& =& 128\end{array}$$
Jumlah bilangan bulat antara 100 dan 1000 yang habis di bagi 7 adalah sebagai berikut
$$\begin{array}{rcl}{S}_n& =& \frac{n}{2}(2a+(n-1)b)\\ S_{128}& =& \frac{128}{2}(2\left(105\right)+\left(127\right)7)\\ & =& 64(210+889)\\ & =& 64\left(1099\right)\\ S_{128}& =& 70.336\end{array}$$
Mencari Bilangan bulat antara 100 dan 1000 yang habis di bagi 7 bisa juga digunakan fungsi floor.

20. Sebuah benda bergerak mulai dari keadaan diam dan melintasi 3 dm pada detik pertama, 5 dm pada detik kedua, 7 dm pada detik ketiga dan seterusnya. Panjangnya lintasan yang ditempuh benda tersebut setelah 10 detik adalah ......

a. 90 dm
b. 100 dm
c. 110 dm
d. 120 dm

Jawaban : D
Dari keterangan soal kita dapatkan informasi sebagai berikut

# $U_1=3$ dm
# $U_2=5$ dm
# $U_3=7$ dm
# $b=2$

Jika kita mencari panjang lintasan yang ditempuh benda setelah 10 detik maka kita sama saja dengan mencari nilai $S_{10}$. Nah sekarang kita cari dulu $U_{10}$ biar gampang nanti mencari nilai $S_{10}$

$$\begin{array}{rcl}{U}_{10}& =& a+9b\\ & =& 3+9\left(2\right)\\ & =& 3+18\\ U_{10}& =& 21\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}{S}_{10}& =& \frac{10}{2}(3+21)\\ & =& 5\left(24\right)\\ S_{10}& =& 120\end{array}$$
Panjangnya lintasan yang ditempuh benda tersebut setelah 10 detik adalah 120 dm

Penutup

Demikian Pembahasan Kompetensi Modul E Matematika SMK tentang Aljabar. Mudah-mudahan bisa bermanfaat untuk kita semua. Semoga membuat kita lebih bersemangat dalam membahas soal-soal selanjutnya. Mudah-mudahan format PDF bisa segera saya posting sehingga bisa di cetak dan kita pelajari bersama-sama. Selamat belajar dan jangan lupa terus pantau blogmatematika ini yah. Terima kasih