Mengenal Materi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dan Cara Penyelesaiannya

APA ITU persamaan linear

Persamaan linear adalah persamaan matematika yang dapat ditulis dalam bentuk $ax + by = c$, dimana $a, b,$ dan $c$ adalah bilangan konstanta dan $x$ dan $y$ adalah variabel. Persamaan ini menggambarkan garis lurus dalam bidang cartesian. Persamaan linear dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan garis lurus, seperti menentukan titik potong antara dua garis, menentukan persamaan garis yang melalui dua titik atau yang memiliki sudut tertentu terhadap sumbu $x$ atau $y$. Persamaan linear juga dapat diterapkan dalam bidang-bidang lain seperti ekonomi, fisika, dan teknik untuk menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan garis lurus atau keterkaitan linear antar variabel.

Bentuk umum persamaan linear

Bentuk umum persamaan linear dalam satu variabel adalah:

$ax = b$

di mana $x$ adalah variabel yang tidak diketahui, dan a dan b adalah bilangan konstanta. Persamaan ini menyatakan bahwa nilai dari $x$ dapat ditentukan dengan mengalikan koefisien $a$ dengan $x$ dan dikurangi dengan $b$.

Dalam bentuk umum dua variabel atau lebih, bentuk umum dari persamaan linear adalah:

$ax + by + cz +... = d$

Di mana $x, y, z,$ dan lain-lain adalah variabel yang tidak diketahui, dan $a, b, c,$ dan lain-lain adalah bilangan konstanta. Persamaan ini menyatakan bahwa setiap variabel yang tidak diketahui tersebut dapat ditentukan dengan mengalikan koefisien masing-masing variabel dengan variabel tersebut, dan ditambahkan dengan sebuah konstanta $d$, yang di sebelah kanan dari persamaan.

APA ITU SISTEM persamaan linear (SPL)

Sistem persamaan linear adalah sekumpulan beberapa persamaan linear yang digabungkan dalam satu bentuk matematika. Sistem persamaan linear dapat ditulis dalam bentuk matriks dan dapat diselesaikan dengan metode-metode seperti eliminasi Gauss atau matriks invers. Sistem persamaan linear dapat berisi dua atau lebih persamaan dengan dua atau lebih variabel yang tidak terkait. Solusi dari sistem persamaan linear dapat berupa pasangan unik dari nilai-nilai variabel yang memenuhi semua persamaan tersebut, atau tidak ada solusi jika sistem tidak memiliki solusi atau memiliki solusi tak hingga. Sistem persamaan linear digunakan dalam berbagai bidang, seperti ekonomi, teknik, kimia, matematika, dan ilmu pengetahuan alam untuk menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan keterkaitan linear antar variabel.

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel adalah sekumpulan dua persamaan linear yang memiliki dua variabel yang tidak terkait. Persamaan-persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks dan dapat diselesaikan dengan metode-metode seperti eliminasi Gauss atau matriks invers. Solusi dari sistem persamaan linear dua variabel dapat berupa pasangan unik dari nilai-nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi kedua persamaan tersebut, atau tidak ada solusi jika sistem tidak memiliki solusi atau memiliki solusi tak hingga. Sistem persamaan linear dua variabel sering digunakan dalam berbagai bidang, seperti ekonomi, teknik, kimia, matematika, dan ilmu pengetahuan alam untuk menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan keterkaitan linear antar dua variabel.

Bentuk umum persamaan linear dua variabel 

Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah:

$ax + by = c$

Di mana $x$ dan $y$ adalah variabel yang tidak diketahui, dan $a, b$, dan $c$ adalah bilangan konstanta. Persamaan ini menyatakan bahwa garis yang ditentukan oleh persamaan tersebut memenuhi hubungan linear antara $x$ dan $y$. Persamaan ini dapat diplot dalam bentuk grafik 2 dimensi untuk memvisualisasikan garis yang ditentukan oleh persamaan tersebut.

Mengenal materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)

Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sekumpulan tiga persamaan linear yang memiliki tiga variabel yang tidak terkait. Persamaan-persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks dan dapat diselesaikan dengan metode-metode seperti eliminasi Gauss atau matriks invers. Solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel dapat berupa pasangan unik dari nilai-nilai $x, y,$ dan $z$ yang memenuhi ketiga persamaan tersebut, atau tidak ada solusi jika sistem tidak memiliki solusi atau memiliki solusi tak hingga.

Bentuk umum persamaan linear tiga variabel

Bentuk umum persamaan linear tiga variabel adalah:

$ax + by + cz = d$

$ex + fy + gz = h$

$ix + jy + kz = l$

di mana $x, y, z$ adalah variabel yang tidak diketahui, dan $a, b, c, d, e, f, g, h, i, j$, dan $k$ adalah bilangan konstanta. Persamaan di atas merupakan sistem persamaan linear tiga variabel yang memiliki tiga persamaan dengan tiga variabel yang tidak diketahui.

Sistem persamaan linear ini dapat dituliskan dalam bentuk matriks augmented, yaitu matriks yang terdiri dari matriks koefisien dan matriks konstanta di mana matriks koefisien adalah matriks yang terdiri dari koefisien-koefisien dari masing-masing variabel pada sistem persamaan linear, dan matriks konstanta adalah matriks yang terdiri dari konstanta-konstanta pada sistem persamaan linear.

Penerapan materi sistem persamaan linear tiga variabel dalam kehidupan sehari-hari

Sistem persamaan linear tiga variabel dapat diterapkan dalam berbagai bidang kehidupan sehari-hari, di antaranya:

• Ekonomi: Sistem persamaan linear tiga variabel dapat digunakan untuk menganalisis hubungan antara harga produk, jumlah produk yang dijual, dan pendapatan.
• Teknik: Sistem persamaan linear tiga variabel dapat digunakan untuk menganalisis stabilitas struktur bangunan atau kendaraan.
• Kimia: Sistem persamaan linear tiga variabel dapat digunakan untuk menentukan konsentrasi senyawa-senyawa dalam campuran.
• Matematika: Sistem persamaan linear tiga variabel dapat digunakan untuk menentukan titik potong antara tiga bidang.
• Ilmu Pengetahuan Alam: Sistem persamaan linear tiga variabel dapat digunakan untuk menganalisis interaksi antara tiga faktor lingkungan.
• Bisnis: Sistem persamaan linear tiga variabel dapat digunakan untuk menganalisis hubungan antara harga barang, biaya produksi, dan keuntungan.

Namun, perlu diingat bahwa selalu ada aspek yang tidak dapat diperhitungkan dalam setiap aplikasi sistem persamaan linear tiga variabel, sehingga dibutuhkan interpretasi yang baik dan beberapa asumsi dalam penerapannya.

Apa saja yang dipelajari dalam sistem persamaan linear tiga variabel 

Dalam pembelajaran sistem persamaan linear tiga variabel, beberapa hal yang dapat dipelajari antara lain :

• Penulisan sistem persamaan linear tiga variabel: Siswa akan belajar cara menuliskan sistem persamaan linear tiga variabel dalam bentuk matriks.
• Metode penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel: Siswa akan belajar metode-metode seperti eliminasi Gauss atau matriks invers untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel.
• Konsep solusi sistem persamaan linear tiga variabel: Siswa akan belajar tentang konsep solusi unik, tidak ada solusi, dan solusi tak hingga dalam sistem persamaan linear tiga variabel.
• Aplikasi sistem persamaan linear tiga variabel: Siswa akan belajar tentang aplikasi sistem persamaan linear tiga variabel dalam bidang-bidang seperti ekonomi, teknik, kimia, matematika, dan ilmu pengetahuan alam.
• Pemecahan masalah sistem persamaan linear tiga variabel: Siswa akan belajar cara mengaplikasikan metode-metode yang dipelajari untuk menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan sistem persamaan linear tiga variabel dalam konteks yang berbeda.
• Interpretasi hasil dan analisis sistem persamaan linear tiga variabel: Siswa akan belajar cara menginterpretasikan hasil dan analisis dari sistem persamaan linear tiga variabel yang telah diselesaikan, agar dapat memberikan solusi yang sesuai dengan konteks yang ada.

Algoritma penyelesaian persamaan linear tiga variabel

Salah satu algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear tiga variabel adalah metode eliminasi Gauss. Metode ini melibatkan proses eliminasi dan substitusi untuk menyederhanakan sistem persamaan linear menjadi bentuk yang lebih mudah untuk diselesaikan. Selain itu, metode matriks inverse dan metode determinan juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear tiga variabel. Namun, metode yang digunakan akan tergantung pada kondisi sistem persamaan linear dan tujuan dari penyelesaian.

Langkah-langkah penyelesaian persamaan linear tiga variabel menggunakan metode eliminasi Gauss adalah sebagai berikut:

• Tuliskan sistem persamaan linear dalam bentuk matriks augmented, yaitu matriks yang terdiri dari matriks koefisien dan matriks konstanta.
• Pilih salah satu persamaan dan bagi seluruh isinya dengan koefisien variabel yang akan dieliminasi.
• Pada persamaan lainnya, kalikan koefisien variabel yang akan dieliminasi dengan koefisien variabel yang sama pada persamaan yang sudah dibagi tadi, dan kurangkan hasilnya dari persamaan tersebut.
• Ulangi langkah 2 dan 3 untuk setiap persamaan hingga koefisien variabel yang akan dieliminasi sama dengan nol pada setiap persamaan.
• Setelah proses eliminasi selesai, gunakan metode substitusi untuk mencari nilai masing-masing variabel.

Langkah-langkah ini akan menyederhanakan sistem persamaan linear menjadi bentuk yang lebih mudah untuk diselesaikan. Namun perlu di ingat jika sistem persamaan linear tidak memiliki solusi atau memiliki banyak solusi, metode eliminasi Gauss tidak dapat digunakan.