Pembahasan Integral Tak Wajar Selanjutnya

b.  Sama dengan soal pada no a, bahwa integral tersebut adalah integral tak wajar karena tidak terdefenisi di $x=1$. Akan tetapi dari petunjuk soal kita dapat mengganti variabel $x$ menjadi variabel $y$ dengan cara sebagai berikut.

$$\begin{array}{rcl}y& =& \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\\ y^2& =& \frac{1+x}{1-x}\\ y^2-x{y}^2& =& 1+x\\ y^2-1& =& x{y}^2+x\\ y^2-1& =& x(y^2+1)\\ x& =& \frac{y^2-1}{y^2+1}\end{array}$$

Batas-batas pengintegralan menjadi

Untuk $x=-1\Rightarrow y=0$

Untuk $x=1\Rightarrow y\to \mathrm{\infty }$

Luas yang dimaksudkan soal adalah luas disebelah kanan kurva $\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ dan sebelah kiri kurva $x=1$. Perhatikan kurvanya berikut

Sehingga kita mendapatkan fungsinya menjadi
$x=1$ dan ${\displaystyle x=\frac{y^2-1}{y^2+1}}$
\begin{eqnarray*}
1-\frac{y^2-1}{y^2+1}&=&\frac{y^2+1}{y^2+1}-\frac{y^2-1}{y^2+1}\
&=&\frac{2}{y^2+1}
\end{eqnarray*}Sehingga kita dapatkan daerah integralnya yaitu

\begin{eqnarray*}
\int_0^\infty \frac{2}{y^2+1}dy&=&\lim_{b\to \infty}\int_0^b \frac{2}{y^2+1}dy\
&=&\lim_{b\to \infty}2\cdot \int_0^b \frac{1}{y^2+1}dy\
&=&\lim_{b\to \infty} 2\cdot \tan^{-1}(y)\bigg|_0^b\

&=&\lim_{b\to \infty} 2 \cdot \left(\tan^{-1}(b)-\tan^{-1}(0)\right)\
&=&2 \left(\frac{\pi}{2}\right)\
&=&\pi
\end{eqnarray*}

Selesailah tugas kita mengintegralkan. Memang kita dituntut untuk memiliki banyak pengetahuan tentang kalkulus. Sampai disini dulu pembahasan kita. Lain kali kita akan sambung lagi jika masih ada kesempatan.

Sumber:
1.  Purcell, Varberg, Rigdon. Kalkulus Jilid 2 Edisi $8^{th}$ (terjemahan Julian Gressando). Erlangga : Jakarta