Fungsi Gamma (Lanjutan)

Fungsi Gamma merupakan perluasan dari Transformasi laplace yang sangat penting dalam matematika dan sebagai dasar dalam perkembangan teknologi dan sains modern. Fungsi Gamma atau biasa dilambangkan dengan $\mathrm{\Gamma }(n)$  adalah salah satu dari beberapa fungsi khusus yang ada dalam matematika. Jika kita perhatikan dari grafik diatas bukanlah grafik fungsi eksponensial maupun fungsi polinom. Tetapi kita dapat menyimpulkan bahwa grafik tersebut merupakan grafik yang berasal dari fungsi-fungsi khusus yang tampilan grafiknya sangat berbeda dengan grafik-grafik dari fungsi lain.

Pada postingan saya yang lalu menjelaskan bahwa bagaimana fungsi gamma berubah menjadi bentuk yang sangat sederhana yaitu dalam bentuk faktorial. jadi antara fungsi Gamma dan faktorial sangat erat hubungannya,. :) Mari kita tinjau keberadaan fungsi gamma dan aplikasinya pada integral tak wajar.

Pertama saya akan menguraikan fungsi dari Transformasi Laplace yaitu :

${\displaystyle \mathcal{L}f(t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt}$

Kemudian kita tinjau fungsi Gamma yaitu :

${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(n)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{n-1}{e}^{-x}dx=\frac{1}{n}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-x}dx}$

Sehingga kita dapat menuliskan bahwa fungsi Gamma adalah :

${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(n)=\frac{(n+1)}{n}}$

${\displaystyle n\mathrm{\Gamma }(n)=\mathrm{\Gamma }(n+1)}$.

Secara Umum, Fungsi Gamma dapat di tuliskan sebagai :

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$ untuk $n=1,2,3,.........$.

Selanjutnya melalui manipulasi aljabar kita bisa menuliskan fungsi Gamma menjadi :

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$

Untuk Pembuktiannya silahkan teman-teman baca buku Numerical Analysis Using MATLAB and Spreadsheets, Second Edition Karangan Steven T. Karris, halaman 13-6.

Contoh Penerapan Fungsi Gamma

1.  Hitunglah nilai dari ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^4{e}^{-x}dx$.

Jawaban :

Dengan menggunakan Fungsi Gamma, Integral diatas dapat dihitung dengan secepat kilat yaitu dengan defenisi :

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{(n-1)}{e}^{-x}dx=\mathrm{\Gamma }(n)$

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^4{e}^{-x}dx=\mathrm{\Gamma }(5)=4!=24$. Gampang kan ????

2. Hitunglah Integral dari ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^5{e}^{-2x}dx$.

Jawaban :

terlebih dahulu kita harus memisalkan variabel $x$. Lihatlah Pemisalan yang saya buat:

misalkan $2x=y$, maka ${\displaystyle x=\frac{y}{2}}$. Dengan ${\displaystyle dx=\frac{dy}{2}}$.

Substitusikan kedalam persamaan

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^5{e}^{-2x}dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{y}{2}{)}^5{e}^{-y}\frac{dy}{2}=\frac{1}{2^6}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^5{e}^{-y}dy}$

${\displaystyle =\frac{1}{64}\mathrm{\Gamma }(6)=\frac{5!}{64}=\frac{120}{64}=\frac{15}{8}}.$

WWooooowwww...... Sangat Singkat lagi. Kita tidak perlu mengintegralkan fungsi tersebut dengan pengintegralan parsial secara berulang-ulang. hanya dengan sedikit langkah kita bisa mendapatkan hasil yang sama dengan pengintegralan parsial. Coba teman-teman bayangkan, bagaimana kalau kita menggunakan pengintegralan secara manual, bukankah kita akan repot sekali, bahkan sangat kesulitan. Sekarang bagaimana ????? Terserah anda....

Oh iya, ada lagi,. Dalam Faktorial kita selalu beranggapan selalu bilangan dari $1,2,3,4........$. Tetapi bisa juga digunakan dalam bilangan Pecahan, maupun bilangan negatif. Tidak percaya ??? mari kita lihat bahwa :

${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }}$. Hal ini tentunya bisa kita lihat bahwa ${\displaystyle (-\frac{1}{2})!=\sqrt{\pi }}$.

Aneh Bukan ???? silahkan baca bukunya di Numerical Analysis Using MATLAB and Spreadsheets, Second Edition Karangan Steven T. Karris. Salam By Fendy.

Disadur dari buku Numerical Analysis Using MATLAB and Spreadsheets, Second Edition Karangan Steven T. Karris Hal 13-1 sampai 13-11.