Logaritma SMA

Logaritma merupakan lawan (kebalikan) dari pangkat. Kita tentu sudah pernah belajar tentang pangkat dan akar. Sebagai contoh, kita mengetahui bahwa $2^2=4$. Dimana kita mencari pangkat dari suatu hasil bilangan jika diketahui bilangan basisnya.

Secara garis besarnya, jika suatu operasi pemangkatan $a^b=c$, maka untuk rumus logaritmanya dapat kita tulis sebagai ${}^a\log c=b$, sehingga dengan menggunakan logaritma, kita dapat mencari pangkat dari suatu bilangan.

Ada beberapa sifat operasi dasar yang perlu di hapal yaitu

1. ${}^x\log x=1$


2. ${\displaystyle {}^{x^n}\log x^m=\frac{m}{n}}$


3. ${}^b\log x{+}^b\log y{=}^b\log (x\cdot y)$


4. ${}^b\log x{-}^b\log y{=}^b\log \left(\frac{x}{y}\right)$


5. ${}^a\log b{\cdot }^b\log c{=}^a\log c$


6. ${}^b\log x^n=n{\cdot }^b\log x$


7. ${}^b\log x={\displaystyle \frac{{}^k\log x}{{}^k\log b}}$

Logaritma sering digunakan untuk pemecahan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunanya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral.

CONTOH SOAL
1. Hitunglah hasil dari ${}^2\log 3{\cdot }^3\log 2=....$

Jawab:
Telah kita ketahui bahwa  ${}^a\log b{\cdot }^b\log c{=}^a\log c$ sehingga ${}^2\log 3{\cdot }^3\log 2{=}^2\log 2=1$

2. Hitunglah hasil dari ${}^3\log 4{\cdot }^2\log 9$

Jawab:
Perhatikan bahwa ${}^b\log x^n=n{\cdot }^b\log x$. Sehingga
\begin{eqnarray*}
^{3}\log4\cdot^{2}\log9 & = & ^{3}\log2^{2}\cdot^{2}\log3^{2}\
& = & 2\cdot^{3}\log2\cdot2\cdot^{2}\log3\
& = & 4\cdot^{3}\log3\
& = & 4\cdot1\
& = & 4

\end{eqnarray*}Dua contoh soal diatas sepertinya tidak ada masalah yang berarti. Nah sekarang coba soal berikut.

3. Jika $\log x+\log x^2+\log x^3+\cdots +\log x^{20}=210$ maka $x$ yang memenuhi adalah ....

Jawab:
$$\begin{array}{rcl}\log x+\log x^2+\log x^3+\cdots +\log x^{20}& =& 210\\ \log x+2\cdot \log x+3\cdot \log x+\cdots +20\cdot \log x& =& 210\\ (1+2+3+\cdots +20)(\log x)& =& 210\\ 210(\log x)& =& 210\\ \log x& =& \frac{210}{210}\\ \log x& =& 1\\ x& =& {10}^1\\ x& =& 10\end{array}$$Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=10$

Bagaimana, Cukup mudah bukan. Cukup sekian materi kali ini. Lain kali kita sambung lagi dengan contoh-contoh soal yang lumayan. hehehe