Materi Bilangan Berpangkat

Halo sobat blogger. Kali ini blogmatematika.net akan mencoba membagikan materi tentang bilangan berpangkat. Sebelum masuk ke bentuk akar kita harus mengenal pangkat terlebih dahulu. Materi ini tentunya pernah di pelajari di SMP/MTs dulu. Tulisan ini bertujuan hanya sekedar menyegarkan kembali ingatan kita dalam membahas bilangan berpangkat. Oke kita langsung mulai saja pembahasannya.

 

Pengertian Pangkat Bulat Positif

 

Kalian tentunya masih ingat dengan pengertian bilangan kuadrat atau bilangan berpangkat dua, yaitu perkalian bilangan-bilangan sebanyak dua faktor, misalkan $3^2=3\times 3$, $4^2=4\times 4$, $7^2=7\times 7$ dan ${10}^2=10\times 10$

Pada bilangan kuadrat tersebut, angka 3, 4, 7 dan 10 disebut bilangan pokok (dasar), sedangkan angka 2 disebut pangkat

Dengan konsep yang sama, kita dapat memahami bilangan berpangkat dengan pangkat selain dua, yaitu pangkatnya merupakan bilangan positif. Misalnya $2^3$ dibaca 2 pangkat 3 atau $5^5$ dibaca 5 pangkat 5. Adapun nilainya adalah

$$2^3=2\times 2\times 3=8\text{dan}{5}^5=5\times 5\times 5\times 5\times 5=3125$$

Coba perhatikan bentuk pangkat berikut ini !

Jadi, secara umum pengertian bilangan berpangkat dengan pangkat bilangan bulat positif adalah sebagai berikut

Apabila terdapat bilangan real $a$ dan bilangan bulat positif $n$, definisi bilangan berpangkat bulat positif $a$ pangkat $n$ (ditulis $a^n$) adalah perkalian berulang sebanyak $n$ faktor dari bilangan real $a$. Dalam notasi matematika, ditulis dengan$$a^n=\underset{n\text{faktor}}{\underbrace{a\times a\times a\times a\times \cdots \times a}}$$

Pada bilangan berpangkat $a^n$, $a$ disebut bilangan pokok (dasar) dan $n$ disebut pangkat atau eksponen. Jika $n=1$ maka $a^1=a$

Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Dalam suatu operasi aljabar yang melibatkan bilangan bulat positif, berlaku sifat-sifat sebagai berikut.

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan real, sedangkan $m$ dan $n$ bilangan bulat positif, berlaku sifat-sifat sebagai berikut

1. $a^m\times a^n=a^{m+n}$


2. ${\displaystyle \frac{a^m}{a^n}}=a^{m-n},$ dengan $m>n$ dan $a\ne 0$


3. ${\left(a^m\right)}^n=a^{m\times n}$


4. ${(a\times b)}^m=a^m\times b^m$


5. ${\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^m={\displaystyle \frac{a^m}{b^m}},$ dengan $b\ne 0$

Untuk pembuktiannya silahkan kalian cari sendiri di buku-buku referensi maupun di internet.

Contoh

1. Nyatakan $3^4\times 3^5$ ke dalam bentuk yang sederhana

Jawab

$$3^4\times 3^5=3^{4+5}=3^9$$

2. Nyatakan ${\displaystyle \frac{p^{10}}{p^4}}$ ke dalam bentuk yang sederhana

Jawab 

$${\displaystyle \frac{p^{10}}{p^4}}=p^{10-4}=p^6$$

CONTOH

3. Nyatakan ${\left(p^5{q}^3{r}^2\right)}^4$ sehingga dapat diketahui pangkat masing-masing faktor.

Jawab
$$\begin{array}{rcl}{\left(p^5{q}^3{r}^2\right)}^4& =& p^{5\times 4}\times q^{3\times 4}\times r^{2\times 4}\\ & =& p^{20}\times q^{12}\times r^8\\ & =& p^{20}{q}^{12}{r}^8\end{array}$$

4. Nyatakan bentuk-bentuk pecahan berikut sehingga dapat diketahui pangkat masing-masing faktor

 ${\left({\displaystyle \frac{p^6}{q^5}}\right)}^2$
 ${\left({\displaystyle \frac{a^3{b}^4}{p^2{q}^5}}\right)}^3$

Jawab 

${\left({\displaystyle \frac{p^6}{q^5}}\right)}^2$$$\begin{array}{rcl}{\left({\displaystyle \frac{p^6}{q^5}}\right)}^2& =& \frac{p^{6\times 2}}{q^{5\times 2}}\\ & =& \frac{p^{12}}{q^{10}}\end{array}$$

${\left({\displaystyle \frac{a^3{b}^4}{p^2{q}^5}}\right)}^3$$$\begin{array}{rcl}{\left({\displaystyle \frac{a^3{b}^4}{p^2{q}^5}}\right)}^3& =& {\displaystyle \frac{a^{3\times 3}{b}^{4\times 3}}{p^{2\times 3}{q}^{5\times 3}}}\\ & =& \frac{a^9{b}^{12}}{p^6{q}^{15}}\end{array}$$

Pangkat Nol

Pada pembahasan sebelumnya, kamu telah memahami sifat bilangan berpangkat, seperti ${\displaystyle \frac{a^m}{a^n}}=a^{m-n}$. Dengan menggunakan sifat itu, perhatikan contoh berikut !

Contoh:

$3^2:3^2={\displaystyle \frac{3^2}{3^2}}=3^{2-2}=3^0$. Untuk soal ini $m=n=2$ dan $a=3$, $a\ne 0$. Kita tahu bahwa ${\displaystyle \frac{3^2}{3^2}}={\displaystyle \frac{3\times 3}{3\times 3}}={\displaystyle \frac{9}{9}}=1$. Berarti $3^0=1$

$5^3:5^3={\displaystyle \frac{5^3}{5^3}}=5^{3-3}=5^0$. Untuk soal ini $m=n=3$ dan $a=5$, $a\ne 0$. Kita tahu bahwa ${\displaystyle \frac{5^3}{5^3}}={\displaystyle \frac{5\times 5\times 5}{5\times 5\times 5}}={\displaystyle \frac{125}{125}}=1$. Berarti $5^0=1$

$6^5:6^5={\displaystyle \frac{6^5}{6^5}}=6^{5-5}=6^0$. Untuk soal ini $m=n=5$ dan $a=6$, $a\ne 0$ kita tahu bahwa ${\displaystyle \frac{6^5}{6^5}}={\displaystyle \frac{6\times 6\times 6\times 6\times 6}{6\times 6\times 6\times 6\times 6}}={\displaystyle \frac{7.776}{7.776}}=1$. Berarti $6^0=1$

Dengan memahami contoh-contoh diatas, pangkat nol suatu bilangan ditentukan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan real $a$ dengan $a\ne 0$, berlaku $a^0=1$

Pangkat Bulat Negatif

Perhatikan pangkat bilangan, dengan pangkat makin menurun berikut !

Berdasarkan pola tersebut, apa jawaban yang tepat untuk ${10}^0$ dan $10$ pangkat bilangan bulat negatif ?

Karena polanya adalah suku berikutnya sama dengan suku sebelumnya dibagi 10 maka akan dihasilkan $${10}^0=1,{10}^{-1}=\frac{1}{10},{10}^{-2}=\frac{1}{100},{10}^{-3}=\frac{1}{1000}$$ dan seterusnya.

Jika ditulis dalam bentuk pangkat,${10}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{{10}^1}}$, ${10}^{-2}={\displaystyle \frac{1}{{10}^2}}$, ${10}^{-3}={\displaystyle \frac{1}{{10}^3}}$ dan seterusnya.

Dari uraian tersebut, pangkat negatif suatu bilangan ditentukan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan real $a$ dengan $a\ne 0$ berlaku $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Mengacu pada ketentuan tersebut, diperoleh
$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{a^{-n}}& =& 1:a^{-n}\\ & =& 1:\frac{1}{a^n}\\ & =& 1\times a^n\\ \frac{1}{a^{-n}}& =& a^n\end{array}$$

Bilangan dengan pangkat bulat negatif tidak dapat diartikan sebagai perkalian berulang dari bilangan pokok yang dipangkatkan. Oleh karena itu, bilangan pangkat bulat negatif disebut juga bilangan berpangkat tak sempurna

Mengubah Bilangan Berpangkat Bulat Negatif Menjadi Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Berdasarkan ketentuan yang sudah kita pelajari sebelumnya suatu bilangan dengan pangkat bulat negatif dapat dinyatakan menjadi bilangan dengan pangkat bulat positif. Untuk memahami cara mengubah bilangan dengan pangkat bulat negatif menjadi bilangan dengan pangkat bulat positif

perhatikan contoh berikut.

Nyatakan bentuk-bentuk dibawah ini dalam pangkat bulat positif
$2m^{-3}$ $$2m^{-3}=2\times m^{-3}=2\times \frac{1}{m^3}=\frac{1}{m^3}$$

${\displaystyle \frac{1}{2p^{-5}}}$$${\displaystyle \frac{1}{2p^{-5}}}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{p^{-5}}=\frac{1}{2}\times p^5=\frac{p^5}{2}$$

Sifat-Sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat

Himpunan bilangan bulat merupakan gabungan dari himpunan bilangan bulat positif, himpunan bilangan nol dan bilangan bulat negatif. Untuk mengetahui sifat-sifat bilangan dengan pangkat bulat, kalian ingat kembali sifat-sifat bilangan dengan pangkat bulat positif.

Kita dapat membuktikan bahwa sifat-sifat bilangan dengan pangkat bulat positif juga berlaku pada bilangna dengan pangkat nol dan bulat negatif. Sifat-sifat bilangan berpangkat dengan pangkat bulat adalah sebagai berikut

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan real, sedangkan $m$ dan $n$ bilangan bulat berlaku

$a^m\times a^n=a^{m+n}$

${\displaystyle \frac{a^m}{a^n}}=a^{m-n},$ Untuk $a\ne 0$

${\left(a^m\right)}^n=a^{m\times n}$

${(a\times b)}^m=a^m\times b^m$

${\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^m={\displaystyle \frac{a^m}{b^m}},$ dengan $b\ne 0$

Sekian dulu postingan saya kali ini. Jika ada pertanyaan silahkan coret-coret di kolom komentar di bawah ini. Untuk bahan ajar dalam versi PDF, saya upload pada postingan berikutnya. Pantau terus blog kami yah....