Pembahasan Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2013-2014 Paket Soal 1

Kali ini saya akan memposting tentang pembahasan Ujian Nasional Matematika tingkat SMA yang baru saja selesai bebrapa hari yang lalu. Soal matematika ini katanya sulit dan berstandar internasional. Namun setelah saya melihat beberapa soal ternyata hanya soal yang seperti biasa muncul pada tahun-tahun sebelumnya. Mengingat saya belum memiliki soal secara utuh maka saya hanya memposting 7 soal saja. Itupun saya dapatkan dari blog pak anang. Soal hanya diperlihatkan 7 nomor sehingga itu saja yang saya bahas kali ini. Mudah-mudahan secepatnya bisa saya dapatkan yang full versi. Langung saja kita bahas soalnya

1. Bentuk sederhana dari ${\displaystyle \frac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}}$ adalah ....

Jawaban

$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}}& =& {\displaystyle \frac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}}\times \frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}\\ & =& \frac{12(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{18-12}\\ & =& \frac{12(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{6}\\ & =& \frac{12}{6}(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})\\ & =& 2(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})\\ {\displaystyle \frac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}}& =& 6\sqrt{2}+4\sqrt{3}\end{array}$$
2. Bentuk sederhana dari ${\left({\displaystyle \frac{a^3{b}^{-2}c}{a{b}^{-4}{c}^2}}\right)}^{-1}$ = ....

Jawaban

$$\begin{array}{rcl}{\left({\displaystyle \frac{a^3{b}^{-2}c}{a{b}^{-4}{c}^2}}\right)}^{-1}& =& \frac{a^{-3}{b}^2{c}^{-1}}{a^{-1}{b}^4{c}^{-2}}\\ & =& a^{(-3+1)}{b}^{(2-4)}{c}^{(-1+2)}\\ & =& a^{-2}{b}^{-2}c\\ & =& \frac{c}{a^2{b}^2}\end{array}$$

3. Himpunan penyelesaian dari $3^{2x}-6\cdot 3^x<27$ adalah ....

Jawaban

$$\begin{array}{rcl}{3}^{2x}-6\cdot 3^x& <& 27\\ {\left(3^x\right)}^2-6\cdot 3^x-27& <& 0\end{array}$$
Misalkan $3^x=P$
$$\begin{array}{rcl}{P}^2-6P-27& <& 0\\ P^2-6P-27& =& 0\\ (P-9)(P+3)& =& 0\\ P=9& \text{atau}& P=-3\end{array}$$
Nilai $P$ yang memnuhi pada pertidaksamaan eksponen tersebut dapat dilihat pada garis bilangan berikut

Batas-batas yang memenuhi nilai $P$ adalah $-3<P<9$ sehingga
$$\begin{array}{rcl}P>-3& \text{dan}& P<9\\ 3^x>-3& \text{dan}& 3^x<9\\ \left(\text{tidak memenuhi}\right)& \text{dan}& 3^x<3^2\\ & & x<2\end{array}$$
Diperoleh $HP=\{x|x<2x\in \mathbb{R}\}$

4. Akar-akar persamaan $x^2+(p+1)x-18=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $\alpha +2\beta =0$ dan $p\ge 0$, nilai $p$ = .....
Jawaban

$$\begin{array}{rcl}\alpha +\beta & =& -\frac{b}{a}\\ & =& -\frac{(p+1)}{1}\\ \alpha +\beta & =& -p-1\\ \alpha \times \beta & =& \frac{c}{a}\\ & =& \frac{-18}{1}\\ \alpha \times \beta & =& -18\end{array}$$
Karena $\alpha +2\beta =0$ maka diperoleh $\alpha =-2\beta$. Substitusikan kedalam $\alpha \times \beta =-18$ menjadi
$$\begin{array}{rcl}\alpha \times \beta & =& -18\\ -2\beta \times \beta & =& -18\\ -2{\beta }^2& =& -18\\ {\beta }^2& =& \frac{-18}{-2}\\ & =& 9\\ \beta & =& \sqrt{9}\\ \beta & =& 3\end{array}$$
Karena $\beta =3$ maka diperoleh $\alpha =-6$ maka
$$\begin{array}{rcl}\alpha +\beta & =& -p-1\\ -6+3& =& -p-1\\ -2& =& -p\\ p& =& 2\end{array}$$

5. Dina, Ety dan Feby belanja di toko yang sama. Dina membeli 5 bungkus mie dan 2 kaleng susu kental seharga Rp 25.500,00. Ety membeli 10 bungkus mie dan 3 kaleng susu kental seharga Rp 42.000,00. Jika Feby membeli 1 bungkus mie dan 1 kaleng susu kental, Feby harus membayar sebesar ....

Jawaban

Misalkan $x=$ Mie dan $y=$ susu kental maka didapatkan persaman
$$\begin{array}{rcl}5x+2y& =& 25.000\\ 10x+3y& =& 42.000\end{array}$$
Eliminasi dua persamaan diatas mendapatkan nilai $y=8.000$. Untuk $y=8.000$ maka
$$\begin{array}{rcl}5x+2\left(9.000\right)& =& 25.500\\ 5x+18.000& =& 25.500\\ 5x& =& 7.500\\ x& =& 1.500\end{array}$$
Jadi, jika Feby membeli 1 bungkus mie dan 1 kaleng susu kental, Feby harus membayar sebesar $9.000,00+1.500,00=Rp10.500,00$

6. Persamaan garis singgung lingkaran $2x^2+2y^2-4x+8y-8=0$ yang sejajar dengan garis $5x+12y-15=0$ adalah ....
Jawaban

Persamaan lingkaran $2x^2+2y^2-4x+8y-8=0$ kita sederhanakan menjadi $x^2+y^2-2x+4y-4=0$. Kemudian kita mencari jari-jarinya dengan memanfaatkan kuadrat sempurna yaitu
\begin{eqnarray*}
x^{2}+y^{2}-2x+4y-4 & = & 0\
\underset{\left(x-1\right)^{2}}{\underbrace{x^{2}-2x+1}}-1+\underset{\left(y+2\right)^{2}}{\underbrace{y^{2}+4y+4}}-4 & = & 4\
\left(x-1\right)^{2}+\left(y+2\right)^{2} & = & 4+1+4\
\left(x-1\right)^{2}+\left(y+2\right)^{2} & = & 9\
\left(x-1\right)^{2}+\left(y+2\right)^{2} & = & 3^{2}

\end{eqnarray*}
Terlihat bahwa lingkaran tersebut berpusat di $P(1,-2)$ dengan $r=3$. Karena lingkaran tersebut sejajar dengan garis $5x+12y-15=0$ maka kita dapat mencari gradien garis $5x+12y-15=0$
$$\begin{array}{rcl}5x+12y-15& =& 0\\ 12y& =& -5x+15\\ y& =& -\frac{5}{12}x+\frac{15}{12}\end{array}$$
Terlihat bahwa $=-{\displaystyle \frac{5}{12}}$. Persamaan garis singgung pada lingkaran $L\equiv {(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2$ dengan gradien $m$ dapat ditentukan dengan rumus $(y-b)=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}$ dengan $a=1$ $b=-2$ $r=3$ dan $m=-{\displaystyle \frac{5}{12}}$ Sehingga kita dapatkan
$$\begin{array}{rcl}y+2& =& -\frac{5}{12}(x-1)\pm 3\sqrt{{(-\frac{5}{12})}^2+1}\\ y+2& =& -\frac{5}{12}x+\frac{5}{12}\pm 3\sqrt{\frac{25}{144}+\frac{144}{144}}\\ y+2& =& -\frac{5}{12}x+\frac{5}{12}\pm 3\sqrt{\frac{169}{144}}\\ y+2& =& -\frac{5}{12}x+\frac{5}{12}\pm 3\left(\frac{13}{12}\right)\\ 12y+24& =& -5x+5\pm 39\\ 5x+12y-20=0& \text{atau}& 5x+12y+58=0\end{array}$$
Jadi ada dua garis singgung lingkaran yaitu $5x+12y-20=0\text{ atau }5x+12y+58=0$

Catatan :Cara lain mencari titik pusat dan jari-jari adalah jika persamaan lingkaran  $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ maka jari-jari dihitung dengan
$$P(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2})$$
sedangkan $r=\sqrt{{(-\frac{A}{2},)}^2+{(-\frac{B}{2})}^2-C}$

7. Diketahui fungsi $f\left(x\right)=3x+4$ dan $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{4x-5}{2x+1}},x\ne -{\displaystyle \frac{1}{2}}$,
invers $(f\circ g)\left(x\right)$ adalah ....
Jawaban

$$\begin{array}{rcl}(f\circ g)\left(x\right)& =& f\left(g\left(x\right)\right)\\ & =& 3\left({\displaystyle \frac{4x-5}{2x+1}}\right)+4\\ & =& \frac{12x-15}{2x+1}+4\\ & =& \frac{12x-15}{2x+1}+\frac{4(2x+1)}{2x+1}\\ & =& \frac{12x-15}{2x+1}+\frac{8x+4}{2x+1}\\ (f\circ g)\left(x\right)& =& \frac{20x-11}{2x+1}\\ y& =& \frac{20x-11}{2x+1}\\ 2xy+y& =& 20x-11\\ 20x-2xy& =& y+11\\ x(20-2y)& =& y+11\\ x& =& \frac{y+11}{20-2y}\\ {(f\circ g)}^{-1}\left(x\right)& =& \frac{x+11}{20-2x},x\ne 10\end{array}$$

Cukup sekian dulu yah. Mengingat saya belum mendapatkan soalnya dalam bentuk full versi maka cukup 7 nomor dulu pembahasan Ujian Nasional matematika tahun 2014 ini. Mudah-mudahan saya cepat mendapatkan soalnya secara lengkap dan akan saya bahas langsung disini. Pantau terus blog kami di http://blogmatematika.net.